Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
g(x)=(2x³-4x²)e^-x peut s'écrire g(x)=(2x³-4x²)/e^x
A) g(x) est de la forme u/v donc g'(x)=(u'v-v'u)/v²
g'(x)=[(6x²-8x)e^x -(e^x)(2x³-4x²)]/(e^x)²
après simplification par e^x et factorisation de x au numérateur
g'(x)=x(-2x²+10x-8)/e^x
e^x étant toujours>0 le signe de g'(x) dépend du signe de x(-2x²+10x-8)
g'(x)=0 pour x=0 et pour -2x²+10x-8=0 soit x=1 et x=4
B) le signe de g'(x) on le fera apparaître dans le tableau de variations
C) Limites
si x tend vers -oo 2x³-4x² tend vers-oo et e^x tend vers0+ donc g(x) tend vers -oo/0+=-oo
si x tend vers +oo, 2x³-4x² tend vers+oo et e^x tend vers+oo g(x) tend vers +oo/+oo (FI) mais on sait que la fonction e^x l'emporte sur x^n qd x tend vers +oo donc g(x) tend vers0+
D) tableau des signes de g'(x) et de variations de g(x)
x -oo 0 1 4 +oo
x - 0 + + +
h(x) - - 0 + 0 -
g'(x) + 0 - 0 + 0 -
g(x) -oo C g(0) D g(1) C g(4) D 0+
nota: h(x)=-2x²+10x-8 (pour raccourcir dans le tableau)
C=croissante et D=décroissante
g(0)=0
g(1)-2/e
g(4)=64/e
