Comme l'aire du trapèze se calcule par : A = (B + b)/2 × h
L'aire de du trapèze ABCM est donc : A = (AB + CM)/2 × AD
= (AB - DM/2) × AD
Le volume du prisme se calcule donc par : V = (B + b)/2 × h × l
Le volume de AMCBENGF sera ainsi : V = (AB + CM)/2 × AD × AE
= (AB - DM/2) × AD × AE
Partie I
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On a AB = 12 cm et AE = 10 cm
V = (12 - DM/2) × AD × 10
= (120 - DM/5) × AD
Comme les deux conditions sont : 1°) CM ≥ 9 cm ;
2°) V ≥ 102 cm²
Or CM = DC - DM
= 12 - DM
Donc si CM ≥ 9 on a 12 - DM ≥ 9 soit DM ≤ 3
La première condition est donc réalisée pour DM = 1,6 cm < 3 cm
Et avec AD = 0,8 cm et DM = 1,6 cm, on a :
V = (120 - 1,6/5) × 0,8
= (120 - 0,32) × 0,8
= 119,68 × 0,8
= 95,744 < 102
La deuxième condition n'est donc pas réalisée dans ces conditions.
Partie II
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1) a. Comme CM = DC - DM
= 12 - 2x
On a donc �� CM ≥ 9 si 12 - 2x ≥ 9 soit si x ≤ 3/2
La condition n.1 implique donc que x ≤ 1,5
b. Avec AD = x et DM = 2x l'aire du trapèze ABCM en fonction de x est :
A = (AB - DM/2) × AD
= (12 - DM/2) × AD
= (12 - 2x/2) × x
= 12x - x²
c. Le volume de l'étui AMCBENGR en fonction de x est donc :
V = (AB - DM/2) × AD × AE
= (12x - x²) × 10
= 120x - 10x²
d. Puisque le volume de l'étui donc être supérieur ou égal à 102 cm², il faut donc que :
120x - 10x² ≥ 102
2) a. La formule de la cellule B6 est :
=120*A6-10*A6*A6
ou :
=120*A6-10*A6^2
b. Cf. fichier joint.
c. Cf. autre fichier joint.
d. On voit graphiquement que la condition n. 2 est remplie pour une valeur minimale de x située vers 0,92.
Nous avons déterminé précédemment que la condition n. 1 est remplie pour :
x ≤ 1,5.
Les conditions voules sont donc remplies pour une valeur de x qui se situe approximativement dans l'ensemble [0,92 ; 1,5]
3) Grâce au tableur, on s'aperçoit que la valeur minimale de x permettant de remplir la condition n. 2 est environ de 0,92 (à 0,01 près par défaut).
