Exercice 10
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On a : mx² + 5x + m = 0
Pour que cette équation admette des racines, il faut que son discriminant soit supérieur ou égal à 0, soit que :
5² - 4m² ≥ 0
Or :
5² - 4m² = (5 - 2m)(5 + 2m)
D'où :
| x | -∞ -5/2 +5/2 +∞ |
| 5 - 2x | + | + 0 - |
| 5 + 2x | - 0 + | - |
| 5² - 4x² | - 0 + 0 - |
Donc 5² - 4m² ≥ 0 pour m ∈ [-5/2 ; 5/2]
mx² + 5x + m = 0 admet donc des racines pour m ∈ [-5/2 ; 5/2]
Exercice 11
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1. Comme le sommet d'une parabole f(x) = ax² + bx + c a pour abscisse x = -b/2a,
et que l'abscisse du sommet S de la courbe est -5/4
l'équation recherchée a donc pour équation : f(x) = 2x² + 5x + c
ou pour équation : f(x) = -2x² - 5x + c.
Puisque la courbe passe par le point A(2 ; 17), on a, à ce point :
f(2) = -2(2)² - 5(2) + c = 17 soit c = 17 + 8 + 10 = 35
ou
f(2) = 2(2)² + 5(2) + c = 17 soit c = 17 - 8 - 10 = -1
Or :
— si f(x) = -2x² - 5x + 35, on a pour ordonnée au sommet :
f(-5/4) = -2(-5/4)² - 5(-5/4) + 35
= -50/16 + 25/4 + 35
= -50/16 + 100/16 + 560/16
= 610/16
= 305/8
qui est donc différente de celle de S.
— si f(x) = 2x² + 5x - 1, on a pour ordonnée au sommet :
f(-5/4) = 2(-5/4)² + 5(-5/4) - 1
= 50/16 - 100/16 - 16/16
= -66/16
= -33/8
qui est bien celle de S, le sommet de cette courbe.
L'équation recherchée est donc : f(x) = 2x² + 5x - 1.
2. Comme la dérivée de f(x) = 2x² + 5x + 1 est :
f'(x) = 2 × 2x + 5
= 4x + 5
Qui est négative pour tout x ≤ -5/4 et strictement positive pour tout x ≥ -5/4 :
f sera décroissante pour x ∈ ]-∞ ; -5/4]
et croissante pour x ∈ [-5/4 ; +∞[
Ce qui est normal puisque S(-5/4 ; -33/8) est son sommet.
Cf. le fichier joint pour la courbe.
3. L'équation 2x² + 5x - 1 - m = 0 admet des racines si :
5² - 4(2)(-1 - m) ≥ 0
soit si : 25 + 8(1 + m) ≥ 0
si 8m ≥ -25 -8
si m ≥ -33/8
Elle admet donc des racines pour m ∈ [-33/8 ; +∞[
