Réponse :
Bonjour
1) Dans le triangle (AEH) rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore, on a :
EH = √(AE² + AH²= = √(x² + (5 - x)²) = √(2x² - 10x + 25)
L'aire du carré EFGH est donc de : EH² = 2x² - 10x + 25
2) L'aire est donc définie par le polynôme 2x² - 10x + 25
On a 2 > 0 donc la parabole représentative de ce polynôme est tournée vers le haut, et admet donc un minimum. Ce minimum est atteint pour x = -b/2a , donc ici x = 10/4 = 2,5
Cette aire minimale est de : 2×2,5² - 10×2,5 + 25 = 12,5 cm²
3) On doit ici résoudre l'équation 2x² - 10x + 25 = 14,12
⇔ 2x² - 10x + 25 - 14,22 = 0
⇔ 2x² - 10x + 10,88 = 0
Δ = (-10)² - 4 × 2 × 10,88 = 12,96
x₁ = (10 - √12,96)/4 = 1,6
x₂ = (10 + √12,96)/4 = 3,4
L'aire du carré (EFGH) est donc égale à 14,12 cm² pour x = 1,6 et x = 3,4
4) On doit ici résoudre l'inéquation 2x² - 10x + 25 ≤ 13
⇔ 2x² - 10x + 25 - 13 ≤ 0
⇔ 2x² - 10x + 12 ≤ 0
Δ = (-10)² - 4 × 2 × 12 = 4
x₁ = (10 - 2)/4 = 2
x₂ = (10 + 2)/4 = 3
Le coefficient a (ici a = 2) du polynôme étant positif, le polynôme est négatif entre ses racines, donc ici sur [2 ; 3]
L'aire du carré (EFGH) est donc inférieure ou égale à 13 cm² si x ∈ [2 ; 3]
