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Bonjour, j’ai cet exercice à faire mais je suis vraiment bloquée, pourriez-vous m’aider svp ? (Surtout pour le bonus)

EXERCICE:
Soit la fonction f définie sur [1; 5] par f(x) = 3sqrt(x)+ 7/x- x^2
On admet sur [1; 5] que f'(x) < 0.
1. Montrer que f(x) = -3 admet une unique solution ß sur [1; 5].
2. Encadrer ß au centième, à l'aide de la calculatrice.
3. Déterminer l'arrondi au centième de ß.
BONUS : Montrer que sur [1; 5], f'(x) < 0.

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape

Bonus

f'(x)=3/2sqrt(x)-7/x²-2x

A partir de l'encadrement 1<=x<=5

tu détermine l'encadrement de f'(x)

tu trouves -184,3<=f'(x)<=-7,5

donc f'(x)<0

CROISIERFAMILY

Réponse :

arrondi demandé : b ≈ 3,25

Explications étape par étape :

■ bonsoir Alice !

■ f(x) = 3√x + (7/x) - x²

■ dérivée f ' (x) = (1,5/√x) - (7/x²) - 2x = (1,5x√x - 7 - 2x³) / x²

  cette dérivée serait nulle pour 1,5x√x - 7 - 2x³ = 0

                                                       1,5X - 7 - 2X² = 0

  discriminant Δ = 1,5² - 4*(-2)*(-7) = 2,25 - 56 = -53,75 < 0  

             donc la dérivée est TOUJOURS du même signe,

                                  négative ici puisque f ' (1) = -7,5 < 0 .

  d' où la fonction f est toujours décroissante !

■ f(1) = 9 et f(5) ≈ -16,9 donnent f(x) = -3 admet bien

                         une solution x = b telle que f(b) = -3

la Casio25 donne b ≈ 3,24995

donc 3,24 < b < 3,25

arrondi demandé : b ≈ 3,25

■ tableau :

   x -->     1          3       b      3,5         5

f ' (x) -> -7,5      -5,9            -6,8      -9,6

f(x) -->    9        -1,5     -3    -4,6     -16,9