Bonjour,
Ex1
1) Soit n un entier non nul.
On a
[tex]\frac{v_{n+1}}{v_{n}}[/tex] = [tex]\frac{(n+1) . u_{n+1} -1}{n . u_{n} - 1 }[/tex] = [tex]\frac{(n+1) . (\frac{n . u_{n} +1}{2 (n +1)} ) -1}{n . u_{n} - 1 }[/tex] = [tex]\frac{(\frac{n . u_{n} +1}{2} ) -1}{n . u_{n} - 1 }[/tex] = [tex]\frac{n . u_{n} - 1}{2n . u_{n} - 1 }[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex]
(vₙ) est donc une suite géométrique de premier terme v₁ = 1/2 et de raison r= 1/2
2) On en déduit que pout tout n ≥ 1
vₙ = v₁ × (1/2)ⁿ⁻¹ = (1 / 2)ⁿ = (0,5)ⁿ
Soit uₙ = (1 + vₙ) / n = (1 + (0,5)ⁿ) / n
3) 0,5 < 1 donc lim (0,5)ⁿ = 0 d'où lim 1 + (0,5)ⁿ = 1
Puisque lim 1/n = 0
lim uₙ = 0
4) Soit n un entier strictement positif. On a
uₙ₊₁ - uₙ = (1 + (0,5)ⁿ⁺¹) / (n + 1) - (1 + (0,5)ⁿ) / n
uₙ₊₁ - uₙ = [n (1 + (0,5)ⁿ⁺¹) - (n + 1) (1 + (0,5)ⁿ)] / [n (n + 1)]
uₙ₊₁ - uₙ = [n + n . (0,5)ⁿ⁺¹ - n - n . (0,5)ⁿ - 1 - (0,5)ⁿ)] / [n (n + 1)]
uₙ₊₁ - uₙ = [0,5n . (0,5)ⁿ - n . (0,5)ⁿ - 1 - (0,5)ⁿ)] / [n (n + 1)]
uₙ₊₁ - uₙ = [-1 + (0,5 n - n - 1) (0,5)ⁿ] / [n (n + 1)]
uₙ₊₁ - uₙ = [-1 + (- 0,5 n - 1) (0,5)ⁿ] / [n (n + 1)]
uₙ₊₁ - uₙ = - [1 + (1 + 0,5 n) (0,5)ⁿ] / [n (n + 1)]
On a [1 + (1 + 0,5 n) (0,5)ⁿ] / [n (n + 1)] > 0 pour tout n ≥ 1
(uₙ) est donc une suite strictement décroissante.
Ex2
1) 2x² - (x + 1)² = 2x² - x² - 2x - 1 = x² - 2x + 1 - 2 = (x - 1)² - (√2)² = (x - 1 + √2) ( x - 1 - √2)
On a donc :
2x² - (x + 1)² négatif entre les racines du polynôme (soit si x ∈ [ 1 - √2 ; 1 + √2]) et positif sur le reste de IR.
2) Pour n = 4 on a 2⁴ = 16 et 4² = 16 Soit 2⁴ ≥ 4²
Soit n ≥ 4 avec 2ⁿ ≥ n²
On a 2ⁿ⁺¹ = 2 × 2ⁿ
D'où 2ⁿ⁺¹ ≥ 2 n²
Or n ≥ 4 > 1 + √2, on en déduit que 2n² ≥ (n + 1)² d'après Ex1
On en déduit que 2ⁿ⁺¹ ≥ (n + 1)²
Nous avons ainsi démontrer par récurrence que 2ⁿ ≥ n² pour tout n ≥ 4
