Réponse :
1) 298 à l'étape 100
2) [tex]f(x) = 3x - 2[/tex] avec x le numéro de l'étape
3) 243 est le plus grand nombre d'étapes atteignable avec 729 mosaïques
Explications étape par étape :
On remarque qu'à chaque étape, Pierre ajoute 3 tuiles à sa mosaïque. Plus la tuile départ, on a la suite : 1 puis 4 puis 7 puis 100, etc. Ici, prenons la fonction définit sur N* [tex]f(x)[/tex] tel que [tex]f(x) = 3x -2[/tex] où [tex]x[/tex] est le numéro de l'étape.
On prend [tex]f(x) = 3x -2[/tex] car elle respecte les propriétés que nous venons de voir :. En effet [tex]f(x + 1) = f(x) + 3[/tex] et [tex]f(1) = 1[/tex]. Ce qui correspond au comportement de pierre et des étapes qu'il suit. On retrouve d'ailleurs [tex]f(1) = 1[/tex], [tex]f(2) = 4[/tex], [tex]f(3) = 7[/tex] etc.
Ainsi :Ainsi :
1) f(100) = [tex]3(100) - 2 = 298[/tex]. Il y aura 298 mosaïques à l'étape 100
2) Le nombre de mosaïques à l'étape n'est égale à [tex]f(n)[/tex]
3) On cherche x tel que [tex]f(x) > 729[/tex]:
[tex]f(x) > 729 \iff 3x - 2 > 729 \iff 3x > 731 \iff x > \frac {731}{3} \iff x > \approx 243.66[/tex]
Pierre peut donc construire un maximum de 243 étapes. Car la 244 lui est inaccessible en effet : [tex]f(244) = 730[/tex] or il ne possède pas ce nombre de tuiles.
