Réponse :
a) démontrer que pour tout entier naturel n non nul
1/n - 1/(n+1) = 1/n(n+1)
1/n - 1/(n+1) = (n+1)/n(n+1) - n/n(n+1)
= (n + 1 - n)/n(n+1)
= 1/n(n+1)
b) en déduire la valeur de la somme S définie par :
S = 1/(1 x 2) + 1/(2 x 3) + 1/(3 x 4) + ...... + 1/(2020 x 2021)
on utilise le résultat de la question a)
1/(1 x 2) = 1/1 - 1/(1 + 1) = 1 - 1/2
1/(2 x 3) = 1/2 - 1/(2 + 1) = 1/2 - 1/3
1/(3 x 4) = 1/3 - 1/(3 + 1) = 1/3 - 1/4
..............
1/(2020 + 2021) = 1/2020 - 1/(2020 + 1) = 1/2020 - 1/(2021)
S = 1/(1 x 2) + 1/(2 x 3) + 1/(3 x 4) + ...... + 1/(2020 x 2021)
= (1 - 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+ .....+ (1/2019 - 1/2020) + (1/2020 - 1/2021)
donc S = 1 - 1/2021
= 2020/2021
≈ 0.9995
Explications étape par étape :
