Bonjour,
1) On a u1 = f(u0)
Donc u1 = f(3) = (2+3*3) / (4 + 3) = 11/7
2) Soit x ∈ [0;4]
On pose u(x) = 2+3x et v(x) = 4+x
On a alors f(x) = u(x) / v(x)
Donc f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v(x)² (formule de dérivation d'un quotient)
On a u'(x) = 3 et v'(x) = 1
Donc f'(x) = (3(4+x) - (2+3x)) / (4+x)²
On a alors :
f'(x) = (12 + 3x - 2 - 3x) / (4+x)²
f'(x) = 10 / (4+x)²
b) On a 10 > 0 et (4+x)² > 0 sur [0;4]
Donc f'(x) > 0 sur [0;4]
Donc f est strictement croissante sur [0;4]
3. On a u1 = 11/7 < 3 = u0
Donc la propriété est vraie au rang 0 (initialisation).
On suppose que la propriété est vraie au rang n >= 0, c'est à dire que :
1 <= un+1 <= un. (inéquation de récurrence)
C'est à dire que un est décroissante et minorée par 1.
On a u0 = 3
Donc 1 <= un+1 <= un <= 3
Comme un+1 <= un et que f est croissante sur [0;4] (donc aussi sur [1;3])
On a f(un+1) <= f(un)
Donc un+2 <= un+1 (inégalité droite de l'inéquation à démontrer)
On a f(1) = 1
Comme un+1 >= 1 (hypothèse de récurrence)
On a f(un+1) >= f(1) (car f est croissante sur [0;4] (donc aussi sur [1;3]))
Donc un+2 >= 1 (inégalité gauche de l'inéquation à démontrer)
D'où l'hérédité.
Au final ∀n∈N, on a 1 <= un+1 <= un
4a. D'après la propriété démontrée dans la question précédente, un est décroissante et minorée par 1. Donc un est convergente.
b. On cherche l ∈[1;3] tel que f(l) = l
On a alors :
l = (2 +3l) / (4 + l)
Donc l² + 4l = 2 +3l
l² + l - 2 = 0
Δ = 1 -4(1*(-2)) = 1+8 = 9 > 0
Le polynôme admet 2 racines :
l = (-1 + 3)/2 = 1
Et l = (-1 - 3)/2 = -2
Or un >= 1
Donc l = 1 est la seule solution possible.
