Bonjour,
Une suite vn est géométrique si il existe un réel q tel que :
vn+1 = qvn
Ici, on a vn+1 = [tex]\frac{3^{2(n+1)}}{5^{n+3}} = \frac{3^{2} * 3^{2n}}{5*5^{n+2}} = \frac{9}{5} vn[/tex]
Donc vn est géométrique de raison 9/5. Et 9/5 = 1.8
2. Le terme général de vn est donc vn = v0 * (9/5)^n
Or v0 = [tex]\frac{3^{2*0}}{5^{0+2}} = \frac{1}{25}[/tex]
Donc on a bien pour tout entier naturel n :
vn = [tex]\frac{1}{25} * 1.8^n[/tex]
3. On calcule vn+1 / vn = [tex]\frac{\frac{1}{25} * 1.8^{n+1}}{\frac{1}{25} * 1.8^{n}} = 1.8[/tex] > 1
Donc (vn) est croissante.
4. Il y a une erreur dans l'égalité car ∑ vk pour k allant de 0 à 15 devrait valloir v0 + v1 + .... + v15 et non v1 + ... + v15
On va considérer ∑ vk = v0 + v1 + .... + v15 dans la suite
La somme des termes d'une suite géométrique est données par la formule :
[tex]premier terme *\frac{1- raison^{nbtermes}}{1 - raison}[/tex]
Ici premier terme = v0 = 1/25
Raison = 1.8
nombres de termes = 16
Donc la somme vaut :
[tex]\frac{1}{25} * \frac{1 - 1.8^{16}}{1-1.8}[/tex], ce qui vaut 607.15 (au centième près)
