Bonsoir j’ai besoin d’aide pour l’ex 1
Exercice 1: Un peu d'histoire sur les nombres...
Pythagore est un mathématicien, astronome, et philosophe grec du Vjème siècle avant J. C. II
crée notamment une école qui donne une interprétation mystique des nombres, la Fraternité
pythagoricienne, dont le principe de base est que « tout est nombre », « nombre >> au sens d'un
entier ou d'une fraction.
Des mathématiciens grecs eurent l'idée d'employer le théorème du « maître » (on ne l'appelait
pas encore théorème de Pythagore !) dans un carré de côté 1, afin de déterminer la longueur
de la diagonale. Ils trouvèrent alors un nombre « inexprimable >> sous forme d'un entier ou
d'une fraction. Sa valeur approchée ne convenait pas dans la formule de Pythagore.
Cette découverte doit alors rester secrète pour ne pas rompre le fondement même de la Fraternité
pythagoricienne, jusqu'à ce qu'un de ses membres, Hippase de Métaponte, trahisse le secret... Celui-ci périra
« curieusement » dans un naufrage...
1. Quel est ce nombre « inexprimable » découvert par les mathématiciens grecs ?
2. Expliquer la phrase « Sa valeur approchée ne convenait pas dans la formule de Pythagore. »

1) Des mathématiciens grecs ont employés le théorème du "maître" (autrement dit, "de Pythagore") dans un carré de côté 1, pour calculer la longueur de sa diagonale.

Quelle est la longueur de la diagonale (ce nombre "inexprimable") ?

On utilise le théorème :

longueur de la diagonale² = 1² + 1² = 1 + 1 = 2

longueur de la diagonale = [tex]\sqrt{2}[/tex]

La diagonale d'un carré de côté 1 mesure [tex]\sqrt{2}[/tex] (unité de longueur).

2) D'après le texte, Pythagore disait que "tout est nombre". Cela veut dire que tout nombre peut s'écrire sous la forme d'un entier ou d'une écriture fractionnaire.

Or, on sait que 1 < [tex]\sqrt{2}[/tex] < 2 car [tex]\sqrt{2}[/tex] ≈ 1.414... Donc [tex]\sqrt{2}[/tex] ne peut pas être écrit sous forme d'un entier.

De plus, [tex]\sqrt{2}[/tex] ∉ ℚ car [tex]\sqrt{2}[/tex] ne peut pas être écrit sous la forme [tex]\frac{p}{q}[/tex] avec [tex]p[/tex] entier relatif et [tex]q[/tex] entier naturel non nul. On en conclut que [tex]\sqrt{2}[/tex] ∈ ℝ et ne peut pas être écrit sous forme fractionnaire.

En espérant t'avoir aidé(e).