Sagot :
Réponse : Bonjour,
1) Soit [tex]f(x)=3-\frac{2}{x}[/tex].
Pour étudier les variations de f, on calcule sa dérivée f'(x):
[tex]\displaystyle f'(x)=-\left(-\frac{2}{x^{2}}\right)=\frac{2}{x^{2}}[/tex]
[tex]f'(x) > 0[/tex], pour tout x [tex]\in \mathbb{R}[/tex], privé de 0, donc f est croissante sur son domaine de définition.
On a donc le tableau suivant:
x -∞ 0 +∞
f'(x) + ║ +
f(x) (croissante) ║ (croissante)
2) Initialisation: Pour n=0, [tex]u_{0}=3[/tex], donc [tex]2 \leq u_{0} \leq 3[/tex], donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=0.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que [tex]2 \leq u_{n} \leq 3[/tex], et montrons là à l'ordre n+1, c'est à dire que [tex]2 \leq u_{n+1} \leq 3[/tex].
D'après l'hypothèse de récurrence:
[tex]2 \leq u_{n} \leq 3[/tex]
Comme la fonction f est croissante, alors:
[tex]f(2) \leq f(u_{n}) \leq f(3)[/tex]
Or:
[tex]\displaystyle f(2)=3-\frac{2}{2}=3-1=2\\ f(3)=3-\frac{2}{3}=\frac{9-2}{3}=\frac{7}{3}[/tex]
Et comme [tex]u_{n+1}=f(u_{n})[/tex], alors:
[tex]\displaystyle 2 \leq u_{n+1} \leq \frac{7}{3}[/tex]
Et on a:
[tex]\displaystyle 2 \leq u_{n+1} \leq \frac{7}{3} \leq 3[/tex]
On a donc prouvé que [tex]2 \leq u_{n+1} \leq 3[/tex], la propriété est donc vraie à l'ordre n+1, et donc pour tout n entier naturel, [tex]2 \leq u_{n} \leq 3[/tex].
3) Initialisation: Calculons [tex]u_{1}[/tex], [tex]u_{2}[/tex] pour constater ce qu'il se passe:
[tex]\displaystyle u_{1}=f(u_{0})=f(3)=\frac{7}{3} \approx 2,34\\u_{2}=f(u_{1})=f\left(\frac{7}{3}\right)=3-\frac{2}{\frac{7}{3}}=3-2 \times \frac{3}{7}=3-\frac{6}{7}=\frac{21-6}{7}=\frac{15}{7} \approx 2,14[/tex]
D'après les premiers termes, on peut constater que la suite [tex](u_{n})[/tex], est décroissante.
Démontrons donc par récurrence, que pour tout entier naturel n, [tex]u_{n} \geq u_{n+1}[/tex].
Initialisation: A l'ordre n=0, [tex]u_{0} \geq u_{1}[/tex], donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=0.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que [tex]u_{n} \geq u_{n+1}[/tex], et montrons là à l'ordre n+1, c'est à dire que [tex]u_{n+1} \geq u_{n+2}[/tex].
D'après l'hypothèse de récurrence:
[tex]u_{n} \geq u_{n+1}[/tex].
Comme la fonction f est croissante:
[tex]f(u_{n}) \geq f(u_{n+1})[/tex]
Et donc:
[tex]u_{n+1} \geq u_{n+2}[/tex]
On a donc montré la propriété à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, [tex]u_{n} \geq u_{n+1}[/tex], et donc que la suite [tex](u_{n})[/tex] est décroissante.
4) La suite [tex](u_{n})[/tex] est décroissante, et minorée par 2, donc la suite [tex](u_{n})[/tex] est convergente.
Comme la fonction f est continue sur l'intervalle [2;3], et que [tex]2 \leq u_{n} \leq 3[/tex], alors la limite [tex]l[/tex], de la suite [tex](u_{n})[/tex], vérifie [tex]l=f(l)[/tex], donc:
[tex]\displaystyle l=3-\frac{2}{l}\\l+\frac{2}{l}=3\\\frac{l^{2}+2}{l}=3\\ l^{2}+2=3l\\ l^{2}-3l+2=0[/tex]
On calcule le discriminant de ce trinôme du second degré:
[tex]\displaystyle \Delta=(-3)^{2}-4 \times 1 \times 2=9-8=1\\l_{1}=\frac{3-1}{2}=1\\l_{2}=\frac{3+1}{2}=2[/tex]
Comme pour tout entier naturel n, [tex]2 \leq u_{n} \leq 3[/tex], alors on ne retient que [tex]l_{2}=2[/tex], donc la limite de la suite [tex](u_{n})[/tex] est 2.
