Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour,
1. AL = 3
L'aire du triangle LCP est égal à l'aire du carré ABCD moins les aires des triangles APL, CDP et BCL
aire de APL = AP * AL / 2 = (10-3) 3/2 = 21/2
de même l'aire de CDP est CD * DP / 2 = 10 * 3/2 = 15
et l'aire de BCL = 10 * (10-3) /2 = 5(10-3)=35
et l'aire du carré est 10*10= 100
Donc l'aire du triangle LCP est 100 - (21/2+15+35) = 100 - (21+30+70)/2 = (200 - 121)/2
= 79/2
cela fait 39,50
2.
a. L est un point du segment [AB]
il peut se trouver n'importe où entre A et B sur le segment
s'il est confondu avec A alors x= 0
s'il est confondu avec B alors x = 10
donc x peut varier dans l'intervalle [0;10]
b.
Calculons A(x) comme nous l'avons fait à la question 1
AL = x avec x réel positif
AB = 10
BL = 10 -x
DP = AL = x
AP = 10 - x
aire de APL = AP * AL / 2 = (10-x) x/2
de même l'aire de CDP est CD * DP / 2 = 10 x/2 = 5x
et l'aire de BCL = 10 * (10-x) /2 = 5(10-x)
et l'aire tdu rectangle est 10*10= 100
Donc l'aire du triangle LCP est
[tex]100 - ( (10-x)\frac{x}{2} + 5x + 5(10-x) )\\= 100 - (5x-\frac{1}{2}x^2 + 5x +50-5x)\\= 100 - (-\frac{1}{2}x^2 + 5x + 50 )\\= \frac{1}{2} x^2 -5x + 50\\[/tex]
donc
[tex]A(x) = \frac{1}{2} (x^2 -10x +100)[/tex]
c.
prenons x dans l'intervalle [0;10]
[tex]A(x)-42 = A(x) - 84/2 = \frac{1}{2} (x^2 -10x +100 -84)[/tex]
[tex]= \frac{1}{2} (x^2 -10x +16)[/tex]
or [tex](x-8)(x-2) = x^2 -2x -8x + 16 = x^2 -10x + 16[/tex]
donc
[tex]A(x) = \frac{1}{2} (x-8)(x-2)[/tex]
pour tout x de I
d.
tableau de signes en pièce jointe
e.
De ce tableau, nous pouvons en déduire que A(x)-42 est positif pour x dans [0;2] et x dans [8;10]
Or A(x)-42 >= 0 est équivalent à
A(x) >= 42
Nous pouvons donc en déduire que l'aire du triangle LCP est supérieure a 42 pour
0 <= x <= 2 ou 8 <= x <= 10
soit x ∈ [0;2]∪[8;10]
