Réponse :
Explications étape par étape
1)
L'aire du carré MNPQ est la différence entre l'aire de ABCD et des 4 triangles rectangles de même aires
[tex]\\A_{ABCD} =20^{2} =400\\A_{AMQ} =\frac{5*(20-5)}{2} =\frac{75}{2} \\\\A_{MNPQ} = 400-2*75 = 250[/tex]
2) On raisonne de la même façon
[tex]A_{AMQ} = \frac{x(20-x)}{2} \\\\A_{MNPQ} = 400 - 4* \frac{x(20-x)}{2} = 400 - 2x(20-x)= 400-40x+2x^{2}[/tex]
3)
[tex]A \geq 272[/tex]
[tex]2x^{2} -40x+400 \geq 272\\<=> 2x^{2} -40x+400-272 \geq 0\\\\<=> 2x^{2} -40x+128 \geq 0\\[/tex]
4)
a)
[tex]E = (8-2x)(16-x)= 128 -8x-32x+2x^{2} = 128-40x+2x^{2}[/tex]
b)
[tex]2x^{2}-40x+128 \geq0\\ (8-2x)(16-x)\geq 0\\2(4-x)(16-x)\geq 0\\[/tex]
Tableau de signe
0 4 16 20
4-x + 0 - | -
16-x + | + 0 -
(4-x)(16-x) + 0 - 0 +
Donc S =[4;16]
Le carré dépasse 272 pour x entre 4 et 16
Bonus
[tex]A_{MNPQ} = 2x^{2}-40x+400 = 2(x^{2}-20x+200)= 2(x^{2}-20x+ 100 + 100)= 2((x-10)^{2} + 100)\\A_{MNPQ} = 2(x-10)^{2} + 200\\\\On\ a \ toujours \ (x-10)^{2}\geq 0\\Donc \ 2(x-10)^{2} + 200 \geq 200\\Pour \ x=10 \ A_{MNPQ} = 200\\Donc \ 200 \ est \ le \ minimum \ et \ x=10[/tex]
