Soit f la fonction définie sur]0 ; + ∞ [par : f(x)=Ln (2x)-e^-2x Et soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i ; j) PARTIE A 1/ Calculer les limites de f en 0 et en +∞. En déduire que C admet une asymptote dont on donnera une équation. A/ LIMITE DE F(X) EN +∞ F(x)=ln (2x)-e^-2x Lim ln (2x)-e^-2x X→+∞ On sait que Lim ln t=+∞ T→+∞ Donc Lim ln 2x =+∞ X→+ ∞ On sait que Lim e^t= +∞ X→+∞ Donc Lim (e^-2x)= +∞ X→+∞ Donc Lim ln (2x)-e^-2x= +∞ X→+∞ B/ LIMITE DE F(X) EN 0 Lim ln (2x)-e^-2x x→0 On sait que Lim lnx= -∞ x→0 Donc Lim ln (2x)= -∞ x→0 Lim -2x=0 X→0 Lim e^0=1 X→0 Donc Lim ln (2x)-e^-2x= -∞ x→0 C/ ASYMPTOTE La droite d’équation x=0 (axe des ordonnées) est une asymptote verticale. 2/ Calculer la dérivée de f ; en déduire le sens de variation de f. Dresser le tableau de variation complet de f. A/ DERIVEE : F(x)=ln(2x)-e^-2x est de le forme : Ln(u)’=(u’) /u (e^u)’=u’e(u) Avec u=2x et u’=2 U=-2x et u’=-2 Donc : f’(x)= (ln (2x))’-(e^-2x)’ f’(x)= [ ln(u)’]- [ (e^u)’] f’(x)=[(u’) /u]-[u’*(e^u)] = [(2x’) /u]-[(-2x)’*(e^u)] = [2/2x]-[(-2)*(e^-2x)] = (2 /2x)-(-2*e^-2x) = (1/x)-(-2*e^-2x) B/ SENS DE VARIATION : f’(x)>0 (1/x)-(-2*e^-2x)>0 X0 Il existe une valeur comprise entre ½ et 1. B/ ENCADREMENT DE A D’AMPLITUDE 10^-1 Avec la calculatrice l’encadrement est de 0,55 4/ Etudier le signe de f(x) lorsque x est un réel de]0 ;+∞[ Signe de f(x)0 sur ]0,55 ;+∞[ 5/ Soit T la représentation graphique de la fonction g définie sur ]0 ;+∞[ par g(x)=ln(2x) A/ ETUDIER LIM (f(x)-g(x)) . Interpréter géométriquement le résultat obtenu : x→+∞ Calculons f(x)-g(x) F(x)-g(x)=[ln2x-e^-2x]-[ln2x] = ln 2x-e^-2x-ln 2x = ln 2x-ln 2x –e^-2x = - e^-2x Lim –e^-2 x→+∞ lim -2x=-∞ x→+∞ lim –e^-2x=0 X→-∞ Lim f(x)-g(x)=0 X→+∞ L’axe des abscisses du repère (d’équation y=0) est une asymptote horizontale. B / ETUDIEZ LA POSITION RELATIVE DES COURBES C ET T La position relative des courbes C et T est superposée. c. Tracez C et Γ dans le repère (O, i ; j ) . Partie B 1. n étant un entier naturel non nul, soit Δn la partie du plan délimitée par les courbes C et Γ et les droites d’équation x = n et x = n+1. Calculer, en unité d’aire, l’aire αn de Δn. 2. Montrer que la suite (αn) est une suite géométrique. Préciser son premier terme 1 α et la valeur de sa raison q. 3. n étant un entier naturel non nul, soit En la partie du plan délimitée par les courbes C et Γ et les droites d’équations x = 1 et x = n : a. calculez en unité d’aire, l’aire An de En ; b. calculez n n Lim A →+∞ ; c. interprétez géométriquement ce résultat. Je voudrais avoir de l'aide pour cet exercice , pour la partie B et corriger éventuellement la partie A merci