● Exercice 1: (9 points) On cherche à faciliter l'accès à un refuge de montagne en aménageant un escalier. Deux projets esthétiques sont en compétition : DM n°1 = Projet 1: la hauteur de la première marche est u₁ 2cm et on ajoute 2 centimètres de hauteur à chaque marche supplémentaire. La deuxième marche mesure donc u₂ = 2 + 2 = 4cm, puis u3 = 4 + 2 = 6cm, etc. 1) On s'intéresse au projet 1: Projet 2: la hauteur de la première marche est v₁ = 2cm, et la hauteur est multipliée par 1,5 à chaque marche supplémentaire. La deuxième marche mesure donc v₂ = 2 x 1,5 = 3cm, puis u3 = 3 × 1,5 = 4,5cm, etc. Vacances de la Toussaint 2) On s'intéresse au projet 2 : a. Donner l'expression de un en fonction de n. b. Exprimer Sn, la hauteur totale de l'escalier lorsqu'il comporte n marches, en fonction de n. (II faudra utiliser la question 1)a) pour exprimer le dernier terme de la somme, sans le calculer). a. Donner l'expression de vn en fonction de n. b. Exprimer Tn, la hauteur totale de l'escalier lorsqu'il comporte n marches, en fonction de n. 3) L'escalier doit compenser au minimum 100m de dénivelé. a. Exercice 2 (11 points) En utilisant les questions 1)b) et 2)b), et à l'aide de la calculatrice ou d'un tableur Excel, trouver le nombre minimal de marche que doit comporter chacun des deux escaliers. b. En utilisant les questions 1)a) et 2)a), calculer la hauteur de la dernière marche de chaque escalier. Conclure sur la faisabilité de chaque projet.
