Bonsoir,
On considère la fonction [tex]h[/tex] définie par [tex]h(x)=-2x^{2} +3x+4[/tex], donc de la forme [tex]ax^{2}+bx+c[/tex].
[tex]h(x)[/tex] correspond à la hauteur du tunnel (en mètres) et [tex]x[/tex] le déplacement horizontal (en mètres) à partir d'un point connu.
On constate que la courbe représentative de la fonction [tex]h[/tex] coupe l'axe des abscisses en deux points distincts.
Ainsi, cette fonction peut s'écrire sous sa forme factorisée telle que :
[tex]h(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})[/tex] avec :
[tex]x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}[/tex] et [tex]x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}[/tex]
avec [tex]\Delta=b^{2}-4ac[/tex]
On détermine ces deux nombres, correspondant au racines de cette fonction et donc ici à largeur maximale de l'entrée du tunnel.
[tex]x_{1}=\dfrac{-3-\sqrt{\ 3^{2}-4\times (-2)\times 4} }{2\times (-2)}\\\\x_{1}=\dfrac{-3-\sqrt{\ 41} }{-4} \approx 2,35 \ (m)[/tex]
et
[tex]x_{2}=\dfrac{-3+\sqrt{\ 3^{2}-4\times (-2)\times 4} }{2\times (-2)}\\\\x_{2}=\dfrac{-3+\sqrt{\ 41} }{-4} \approx -0,85[/tex]
→ Ainsi, la largeur maximale de l'entrée du tunnel est :
[tex]2,35+0,85=3,2[/tex] mètres (approximatif)
La fonction peut également écrire sous sa forme canonique :
[tex]h(x)=a(a-\alpha )^{2}+\beta[/tex]
avec [tex]\alpha =-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{3}{-4} =\dfrac{3}{4}[/tex]
et [tex]\beta =f(\alpha )=-2\times (\dfrac{3}{4})^{2}+3\times \dfrac{3}{4} +4=5,125 \ (m)[/tex]
Or, le sommet de la parabole a pour coordonnées [tex](\alpha ;\beta )[/tex].
→ Ainsi, la hauteur maximale du tunnel est [tex]5,125 \ m[/tex].
En espérant t'avoir aidé.
