Réponse :
v1 = - 1
pour tout entier naturel non nul, vn+1 = - 3vn + 8
Montrer que pour tout entier naturel non nul, vn = (- 3)ⁿ + 2
raisonnement par récurrence
P : vn = (- 3)ⁿ + 2
* initialisation : vérifions que pour n = 1 ; P(1) est vraie
v1 = - 1 = (- 3)¹ + 2 = - 1 donc P(1) est vraie
* hérédité : supposons que pour un entier n ; P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie
vn = (- 3)ⁿ + 2 ⇔ - 3vn = - 3((-3)ⁿ + 2) ⇔ - 3vn + 8 = - 3((-3)ⁿ + 2) + 8
⇔ (- 3)(-3)ⁿ - 6 + 8 ⇔ (- 3)ⁿ⁺¹ + 2 donc P(n+1) est vraie
* conclusion pour n = 1 ; P(1) est vraie et P(n) est héréditaire au rang n
donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel non nul
Explications étape par étape :
