Bonjour,
f(x) = exp(kx) - kx
1 ) Pour tout k dans IR, on a f'(x) = k exp(kx) - k
on en déduit que f'(0) = k exp(0) - k = k - k = 0
D'où: pour tout réel k, la courbe de f admet une tangente horizontale au point d'abscisse 0
On note que pour tout réel k, f(0) = exp(0) - 0 = 1
Toutes les courbes passent donc par le point (0 ; 1)
Pour tout reel k, la tangente à la courbe au point d'ordonnée 1 est horizontale.
L'équation de cette tangente est y = 1
2 ) On cherche donc f'(x) = 0 avec x ≠ 0
Soit k exp(kx) - k = 0
Si k = 0, f(x) = 1 est une solution triviale.
Si k ≠ 0 alors f'(x) = 0 ⇔ exp(kx) - 1 = 0 ⇔ exp(kx) = 1
⇔ kx = 0
Pas possible avec x ≠ 0 et k ≠ 0
La seule solution possible est donc k = 0
Dans ce cas, la seule solution possible est k = 0 (dans ce cas, f(x) = 1)
