1.a. Chaque article est vendu 120 euros, la recette est donc de R(q) = 120q
1.b. facile à faire
1.c. Il y a bénéfices lorsque la courbe des recettes dépasse cette du cout de fabrication. Le nombre d'articles à fabriquer est donc l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite.
2.a. Bénéfice = recettes - couts = R(q) - C(q) = 120q -(2q² + 20q +800) =-2q² + 100q - 800 2.b. : On a B(q) = aq² + bq + c avec a=-2 ; b=+100 et c=-800.
On utilise le discriminant : [tex]\Delta = b^2 - 4ac[/tex] d'où [tex]\Delta = 100^2 - 4(-2)(-800)[/tex]
On trouve donc [tex]\Delta = 3600 = 60^2[/tex]
Or les racines de l'équation B(q)=0 sont [tex]q_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex] et [tex]q_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex] d'où [tex]q_{1}=40[/tex] et [tex]q_{2}=10[/tex]
On peut donc écrire B(q)=-2(q-10)(q-40)
2.c. Pour avoir B(q) positif, il faut que (q-10) et (q-40) soient de signes différents (à cause du - dans l'équation précédente). Or [tex]q-10\leq 0[/tex] pour [tex]q\leq 10[/tex] et [tex]q-40 \leq 0 [/tex] lorsque [tex]q \leq 40[/tex]. Donc, sur l'intervalle [0;50], B(q) est positif sur [10;40]
3.a. B(q)= -2q² + 100q - 800 = -2q² +100q - 1250 + 450 = -2(q² - 50q + 625) or 50=2*25 et 625 = 25² donc on retrouve une identité remarquable : q² - 2*25*q + 25² = (q - 25)²
Le maximum de B aura lieu pour -2(q - 25)² maximal, ce qui est le cas lorque q=25 et dans ce cas B(25)= 450 euros.
Voilà !
