Réponse :
Explications étape par étape :
■ 1°) f(x) = x² + 3x +1 sur IR donne
f ' (x) = 2x + 3 ( nulle pour x = -1,5 )
tableau :
x --> -∞ -1,5 +∞
f ' (x) -> - 0 +
f(x) --> +∞ -1,25 +∞
■ 2°) g(x) = -1 / (x+2) sur IR - { -2 } donne
g ' (x) = 1 / (x+2)² toujours positive pour x ≠ -2 .
tableau :
x --> -∞ -2 +∞
g ' (x) -> + ║ +
g(x) --> 0 +∞ ║-∞ 0
■ 3°) h(x) = f(x) - g(x)
= [ (x²+3x+1)(x+2) + 1 ] / (x+2)
= [ x³ + 5x² + 7x + 2 + 1 ] / (x+2)
= [ x³ + 5x² + 7x + 3 ] / (x+2)
= (x+1)(x² + 4x + 3) / (x+2)
= (x+1)² (x+3) / (x+2) .
h(x) est donc positive pour x ∈ ] -∞ ; -3 ] U ] -2 ; +∞ [ .
h(x) positive signifie f(x) > g(x) donc
courbe Cf au dessus de Cg pour x ∈ ] -∞ ; -3 ] U ] -2 ; +∞ [ .
■ 4°) intersection des courbes Cf et Cg :
J(-3 ; 1) et K(-1 ; -1) .
équation de la Tangente commune en K :
y = x .
