Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
a)
f(x)=x³+4x²-3x-2
f(1)=1³+4(1)²-3(1)-2=1+4-3-2=0
b)
On développe :
(x-1)(ax²+bx+c)=ax³+bx²+cx-ax²-bx-c=ax³+(b-a)x²+(c-b)x-c
c)
Par identification avec : x³+4x²-3x-2 , il faut :
a=1
b-a=4
c-b=-3
-c=2
--------------
a=1
b-a=4 ==>b=4+a=4+1
b=5
c-b=-3 ==>c=-3+b=-3+5
c=2
-c=-2
c=2
On arrive donc à :
f(x)=(x-1)(x²+5x+2)
On cherche maintenant les racines de (x²+5x+2).
Δ=5²-4(1)(2)=17
x1=(-5-√17)/2 et x2=(-5+√17)/2
Donc :
f(x)=(x-1)[x-(-5-√17)/2][x-(-5+√17)/2]
OU :
f(x)=(x-1)[(2x+5+√17)/2][(2x+5-√17)/2]
f(x)=(1/4)(x-1)(2x+5+√17)(2x+5-√17)
2)
g(x)=-x³+2x²+x-2
g(1)=-1³+2(1)²+1-2=-1+2+1-2=0
Donc :
g(x)=(x-1)(ax²bx+c)
On développe :
(x-1)(ax²+bx+c)=ax³+(b-a)x²+(c-b)x-c
Par identification avec : -x³+2x²+x-2 , on a :
a=-1
b-a=2 ==>b=2+a=2-1
b=1
c-b=1 ==>c=1+b=1+1
c=2
-c=-2
c=2
Donc :
g(x)=(x-1)(-x²+x+2)
g(x)=(x-1)(-1)(x²-x-2)
g(x)=-(x-1)(x²-x-2)
On cherche les racines de (x²-x-2)
Δ=(-1)²-4(1)(-2)=9
√9=3
x1=(1+3)/2=2
x2=(1-3)/2=-1
Donc :
g(x)=-(x-1)(x-(-1))(x-2)
g(x)=-(x-1)(x+1)(x-2)
