bonjour
[AB] est un segment de longueur 11 cm.
M est un point de ce segment.
Du même côté de la droite (AB), on construit deux carrés, l'un de côte AM et l'autre de côté BM.
1) Faire une figure
F E
D C
A x M B
< 11 cm >
< x < 11-x >
2) On pose AM=x cm.
a) Donner un encadrement de x
0 < x < 11
b) Calculer, en fonction de x, les aires A1, et A2, de ces deux carrés
A1 = x² et A2 = (11-x)²
c) Démontrer que A1 + A2 = 2x² - 22x+121.
x² + (11-x)² = x² + 121 - 22x +x² = 2x² - 22x + 121
3) On cherche à déterminer x pour que la somme de ces aires soit supérieure à 73 cm²
a) Ecrire une inéquation correspondant à ce problème
2x² - 22x + 121 > 73
b) Montrer que cette inéquation équivaut à l'inequation
2x² - 22x + 121 - 73 > 0 donc 2x² - 22x +48 >0.
c) Développer(2x-6)(x-8 ), puis proposer une inequation equivalente à celles déjà écrite.
(2x-6)(x-8) = 2x² - 16x - 6x + 48 = 2x² - 22x + 48
donc on aura (2x-6)(x-8) > 0
4) Résoudre, dans R.(2x - 6)(x - 8)>0
x - inf 3 8 + inf
2x-6 - 0 + 0 +
x-8 - - 0 +
( ) ( ) + 0 - 0 +
5) Pour quelles valeurs de x la somme de ces aires est supérieure à 73 cm²
pour x ]-inf;3[U]8;+inf[
Réponse :
bonjour
Explications étape par étape :
0<x<11
1) aire carré coté AM
AM+x
aire =x²
2) aire carré côté MB
MB=11-x
aire:(11-x)²
121-22x+x²
3) aire des 2 carrés
x²+x²-22x+121
2x²-22x+121
4)
2x²-22x+121>73
2x²-22x+121-73>0
2x²-22x+48 >0
5) intéressons nous au polynome du second degré
2x²-22x+48
Δ=22²-2(2)(-48)
Δ=384-384
Δ=100
∨Δ=10
x1=22-10/4 x1= 12/4 x1=3
x2=22+10/4 x2= 32/4 x2=8
2x²-22x+48=2((x-3)(x-8)
2x²-22x+48=(2x-6)(x-8)
si 2x²-22x+48>0
alors
(2x-6)(x-8)>0
x 0 3 8 11
2x-6 - 0 + +
x-8 - - 0 +
(2x-6)(x-8) + 0 - 0 +
donc
l'aire sera supérieure à 73
]0;3[ ∪ ] 8;11[