Bonjour,
Soit [tex]f[/tex] la fonction définie sur [tex]$\mathbf{R}[/tex] par [tex]f(x)=3x^{2} -12x+13[/tex].
1) [tex]f(x)=3x^{2} -12x+13[/tex]
Tout polynôme du second degré, c'est-à-dire la fonction [tex]f[/tex] de la forme [tex]f(x)=ax^{2} +bx+c[/tex] peut s'écrire sous sa forme canonique de formule :
[tex]f(x)=a(x+\frac{b}{2a})-\dfrac{\Delta}{4a}[/tex]
avec [tex]\Delta=b^{2}-4ac[/tex]
On obtient alors :
[tex]f(x)=3(x+\frac{-12}{2\times 3})^{2} -\frac{(-12)^{2}-4\times 3\times 13}{4\times 3} \\\\f(x)=3(x+(-2))^{2}-(-1)\\f(x)=3(x-2)^{2}+1[/tex]
2) [tex]f(x)=3(x-2)^{2}+1[/tex]
Etudions le signe de cette fonction.
- [tex](x-2)^{2}[/tex] est un carré donc est toujours positif pour [tex]x[/tex] ∈ [tex]$\mathbf{R}[/tex] et ∀ [tex]x[/tex] ∈ [tex]$\mathbf{R}[/tex], [tex](x-2)^{2} > 0[/tex]
- Alors, [tex]3(x-2)^{2}[/tex] est aussi toujours positif car la multiplcation par un nombre positif conserve le signe, donc ∀ [tex]x[/tex] ∈ [tex]$\mathbf{R}[/tex], [tex]3(x-2)^{2} > 0[/tex]
- Ainsi, [tex]3(x-2)^{2}+1 > 1[/tex], ∀ [tex]x[/tex] ∈ [tex]$\mathbf{R}[/tex]
- D'où, ∀ [tex]x[/tex] ∈ [tex]$\mathbf{R}[/tex], [tex]f(x) > 1[/tex]
3) La forme canonique est de la forme [tex]a(x-\alpha )^{2}+\beta[/tex], [tex]\beta[/tex] correspondant à l'extremum et donc ici au minimum. De plus, [tex]\alpha[/tex] correspond à la valeur de [tex]x[/tex] pour lequel il est atteint.
On en déduit que ce minimum est égal à 1, atteint en [tex]x=2[/tex].
En espérant t'avoir aidé.
