Réponse:
1) Le triangle AHB est rectangle en H. D'après le théorème de Pythagore on a :
AB²=AH²+HB²
[tex] {a}^{2} = {h}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} \\ {a}^{2} = {h}^{2} + \frac{ {a}^{2} }{ {2}^{2} } \\ \frac{4 \times {a}^{2} }{4} = {h}^{2} + \frac{ {a}^{2} }{4} \\ \frac{4 \times {a}^{2} }{4} = {h}^{2} + \frac{ {a}^{2} }{4} \\ {h}^{2} = \frac{4 {a}^{2} }{4} - \frac{ {a}^{2} }{4} \\ {h}^{2} = \frac{3 {a}^{2} }{4} [/tex]
2)
[tex] {h}^{2} = \frac{3 {a}^{2} }{4} \\ \sqrt{ {h}^{2} } = \sqrt{ \frac{3 {a}^{2} }{4} } \\ h= \frac{ \sqrt{3 {a}^{2} } }{ \sqrt{4} } \\ h = \frac{ \sqrt{3} \times \sqrt{ {a}^{2} } }{2} \\ h = \frac{ \sqrt{3}a }{2} [/tex]
3)
Le triangle HAB est rectangle en H donc on peut utiliser les formules trigonométriques.
[tex] \cos(hab) = \frac{h}{a} = \frac{ \frac{ \sqrt{3} a}{2} }{a} = \frac{ \sqrt{3} a}{2} \times \frac{1}{a} \\ = \frac{ \sqrt{3} \times a\times 1 }{2 \times a} \\ = \frac{ \sqrt{3} \times 1}{2} \\ = \frac{ \sqrt{3} }{2} [/tex]
L'angle HAB mesure 30° donc
[tex] \cos(hab) = \cos(30) [/tex]
d'où
[tex] \cos(30) = \frac{ \sqrt{3} }{2} [/tex]
