1) lim ln x = -oo
lim x = 0^+ par quotient, lim f = -oo
2) Par croissances comparées, lim f = 0
3)
[tex] \frac{ \frac{1}{x}x + ln(x) }{x {}^{2} } [/tex]
[tex] = \frac{1 - ln(x)}{x {}^{2} } [/tex]
f'(x) =
4) Or pour tout réel x strct positif, x² > 0 donc le signe de f'(x) dépend du signe de 1 - ln (x)
1 - ln (x) > 0
ln(x) < 1
0<x < e
Donc f est croissante sur ] 0 ; e ]
f est décroissante sur [ e ; +oo [
5)a) f admet un extremum car f' s'annule pour x = e
f(e) = ln(e) / e = 1/e ≈0,4