Bonjour,
Ex1
a. AB.AC = AB.AC.cos(BAC) = 4 * 8 * cos(40°)
b. Soit H le projeté orthogonal de B sur AC.
on note h = BH et x = CH
on a h² + x² = 3² soit h² = 9 - x²
d'un autre coté h² + (6-x)² = 4² soit 9 - x² + x² + 36 - 12x = 16
Ce qui équivaut 12 x = 29 soit x = 29/12
et 6 -x = 43/12
AB.AC = 4 * 6 * 43/12 * 1/4 = 43/2
c. BAC = BCA = 45° il ne reste plus qu'à appliquer AB.AC.cos(BAC)
d. BAC = 90° - CAD = 45° car DAC est isocèle et rectangle en D.
e. on note H' le projeté orthogonal de C sur (AB)
CH' = DH et BH' = AH = 1
AH' = 5+1 = 6
CH'² = BC² - BH'² = 9 - 1 = 8 (th. de Pythagore)
D'autre part AC² = AH'² + CH'² = 36 + 8 = 44
Soit AC = 2√11
et cos (BAC) = AH'/AC = 6 / 2√11 = 3√11 / 11
Ex2
a. AF.BE = (AB+BF).(BC+CE) = AB.BC + AB.CE+BF.BC+BF.CE
AF.BE = 0 - 3AB²/2 + 3BC²/2 + 0 = 0
D'où (AF) ⊥ (BE)
b. on a BE(1 ; 3/2) et AF(3/2 ; -1)
AF.BE = 3/2 - 3/2 = 0
D'où (AF) ⊥ (BE)
Ex3
a. EC.ED = (EA + AC) . (EB + BD) = EA.EB + EA.BD + AC.EB + AC.BD
EC.ED = -1/4 * 3/4 + 0 + 0 + 4 * 4 = 16 - 3/16 = 93/16
On a :
EC² = AE² + AC² = 9/4 + 16 = 73/4
ED² = EB² + BD² = 81/4 + 16 = 145/4
Et EC.ED = ||EC|| . ||ED|| . cos (CED)
Soit cos(CED) = 93/16 / (||EC|| . ||ED||)
Je vous laisse terminer le calcul.
b. On a DB.DE = DB.(DB+BE) = DB² + 0 = DB²
Et DB.DE = (DF+FB).DE = DF.DE
Soit FD = DB² / ED
DB = 4 et on a calculé ED dans la question a.
Il suffit ensuite d'appliquer Pythagore dans le triangle BDF pour trouver BF
