Réponse :
1) calculer l'expression de la hauteur h en fonction de x pour que la contrainte soit respectée
volume de la boite est : v = x * x * h = 10 m²
⇔ h = 10/x² avec x > 0
2) démontrer que, pour tout x > 0 , C(x) = (5 x³ + 80)/x
C(x) = 5 x² + 2 (4(x * h))
= 5 x² + 2(4(x * 10/x²)
= 5 x² + 80/x
= (5 x³ + 80)/x
3) démontrer que, pour tout x > 0, C' est dérivable
et C'(x) = 10(x³ - 8)/x²
C est une fonction quotient dérivable pour tout x > 0 ²et sa dérivée
C'(x) = (15 x² * x - (5 x³ + 80))/x²
= (10 x³ - 80)/x²
C'(x) = 10(x³ - 80)/x²
4) x³ - 8 > 0 ⇔ x³ > 8 ⇔ x > 2 x ∈ ]0 ; + ∞[
5) tableau de signe de C'(x) sur ]0 ; + ∞[
x 0 2 + ∞
C'(x) || - 0 +
6) tableau de variations de C sur ]0 ; + ∞[
x 0 2 + ∞
C(x) + ∞→→→→→→→→→→ 60 →→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
7) quelles sont les dimensions de la boite pour lesquelles le coût de fabrication de la boite est minimal ?
x = 2 m et h = 10/4 = 5/2 = 2.5 m
Explications étape par étape :
