Réponse :
Explications :
Bonjour,
Démonstration de l’équation de la trajectoire :
Système étudié : Balle, centre de gravité G
Référentiel : terrestre considéré galiléen
Vo a pour coordonnées dans le repère (O; Ox, Oz) :
Vo x = Vo * cos Θ° et Vo z = Vo * sinΘ°
Résistance de l'air négligée donc frottements de l'air et poussée d'Archimède négligées (bille en chute libre) donc : ∑ Forces = P balle
Seconde loi de Newton :
∑ Forces = P bille = m * g = m * aG donc aG = g
Par projection sur les 2 axes du repère (O; Ox, Oz), les 2 équations différentielles du mouvement :
aG x = 0 et aG z = -g
par intégration , on a :
VG x = K1
VG z = -g * t + K2
Où K1 et K2 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :
t = 0, VG x(0) = Vo * cosΘ° donc K1 = Vo * cosΘ°
t = 0, VG z(0) = Vo * sinΘ° donc K2 = Vo * sinΘ°
soit : VG x = Vo * cosΘ° et VG z = -g * t + Vo * sinΘ°
par intégration :
OG x = Vo * cosΘ° * t + K3
OG z = -1/2 * g * t² + Vo * sinΘ° * t + K4
Où K3 et K4 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :
a t = 0, OG x(0) = 0 donc K3 = 0
a t = 0, OG z(0) = 0 (référence hauteur du lancé)
On obtient donc les équations horaires paramétriques du mouvement :
OG x = Vo * cosΘ° * t et
OG z = -1/2 * g * t² + Vo * sinΘ° * t
Le mouvement de la balle est donc composé d'un :
- mouvement rectiligne uniforme de vitesse constante V1 sur (Ox)
- mouvement uniformément varié (chute libre verticale d'accélération g) de vitesse initiale non nulle sur (Oz).
Équation de la trajectoire : éliminons le temps :
OG x = Vo * cosΘ° * t donc t = X / (Vo * cosΘ°)
reportons ce temps dans OG z (x) soit :
OG z (x) = -g/2 * (X / (Vo * cosΘ°)² + Vo * sinα° * X / (Vo * cosΘ°)
Equation de la trajectoire :
OG z (x) = - X² * g / (2 * (Vo * cosΘ°)² ) + X * tanΘ°
Obtention de la relation demandée :
d'après les données du dessin : X = L et OG z (x) = h
donc h = - L² * g / (2 * (Vo * cosΘ°)² ) + L * tanΘ°
soit L² * g / (2 * (Vo * cosΘ°)² ) = L * tanΘ° - h
donc 2 * (Vo * cosΘ°)² = L² * g / L * tanΘ° - h = L * g / tanΘ° - h / L
donc Vo² = L * g / 2 (cosΘ°)² (tanΘ° - h / L) CQFD
Vérifiez mes valeurs !!
