Bonjour,
Question 1 :
En pièce-jointe !
Question 2 :
Le quadrilatères AECD est un parallélogramme car [tex]\vec{AE}[/tex] et [tex]\vec{DC}[/tex] sont colinéaire :
On calculer les coordonnées du point E :
E = ( [tex]\frac{-2 + 4}{2}[/tex] ; [tex]\frac{4+2}{2}[/tex]) = (1;3)
[tex]\vec{AE}[/tex] = (1 - (-2) ; 3 - 4) ⇔ (3 ; -1)
[tex]\vec{DC}[/tex] = (0 - (-3) ; - 1 - 0) ⇔ (0 + 3 ; -1 - 0) = (3 ;-1)
det([tex]\vec{AE}[/tex] ; [tex]\vec{DC}[/tex]) ⇔ [tex]\left[\begin{array}{ccc}3&3\\-1&-1\\\end{array}\right][/tex] ⇔ 3 × (-1) - (-1) × 3
⇔ -3 + 3 = 0
Le quadrilatères ABCD est trapèze car (AB) et (CD) sont parallèle si [tex]\vec{AB}[/tex] et [tex]\vec{CD}[/tex] sont colinéaire
[tex]\vec{AB}[/tex] = (4 - (-2) ; 2 - 4) ⇔ (4 + 2 ; 2 - 4) = (6;-2)
[tex]\vec{CD}[/tex] = (-3 - 0 ; 0 - (-1)) ⇔ (-3 - 0 ; 0 + 1) = (-3 ; 1)
det( [tex]\vec{AB}[/tex] ; [tex]\vec{CD}[/tex]) ⇔ [tex]\left[\begin{array}{ccc}6&-3\\-2&1\\\end{array}\right][/tex] ⇔ 6 × 1 - (-2) × (-3)
⇔ 6 - 6 = 0
Question 3 :
OBFA est parallélogramme si et seulement si [tex]\vec{OB}[/tex] = [tex]\vec{AF}[/tex]
O a pour coordonnées (0;0) car il est l'origine du repère.
[tex]\vec{OB}[/tex] = (4 - 0 ; 2 - 0) = (4;2)
[tex]\vec{AF}[/tex] = (x - (-2) ; y - 4) ⇔ (x + 2 ; y - 4)
x + 2 = 4 ⇔ x = 2
y - 4 = 2 ⇔ y = 6
Les coordonnées de F sont (2;6)
Question 4 :
OBFA est un losange car il possède deux coté de même longueur.
AF = [tex]\sqrt{(2 - (-2))^{2} + (6 - 4)^{2} }[/tex] = [tex]2\sqrt{5}[/tex]
AO = [tex]\sqrt{(0 - (-2))^{2} + (0 - 4)^{2} }[/tex]= [tex]2\sqrt{5}[/tex]
Voilà ! J'espère d'avoir aidé.
