bonjour
Exercice 1
z= -1 + 3i et z'= 4 + 2i
Calculer z + z' ; zz' ; z²; 2z – 3z'.
z + z' = -1 + 3i + 4 + 2i = (-1 + 4) + (3i + 2i) = 3 + 5i
zz' = (-1 + 3i) ( 4 + 2i) on développe
= -4 - 2i + 3i x 4 + 3i x 2i
= -4 -2i + 12i + 6i² (i² = -1)
= -4 -6 - 2i - 12i
= - 10 - 10i
z² = (-1 + 3i )² = (3i - 1)² = (3i)² - 2 x 3i x 1 + 1² [ (a - b)² = ....]
= 9i² - 6i + 1
= -9 - 6i + 1
= -8 -6i
2z – 3z' = 2(-1 + 3i) - 3( 4 + 2i)
= -2 + 6i - 12 - 6i
= -14
Exercice 2
i⁰ ; i¹ ; i² ; i³ ; i⁴ ; i⁵ ; i⁶ ; i⁷
1 ; i ; -1 ; -i ; 1 ; i ; -1 ; -i
< - - - - - - - - - -> <- - - - - - - - - ->
i⁰ = 1
i¹ = 1
i² = i x i = -1
i³ = i² x i = -1 x i = -i
i⁴ = i³ x i = -i x i = -i² = 1
i⁵ = i⁴ x i = 1 x i = i
i⁶ = i⁵ x i = i x i = -1
et les calculs recommencent
quand l'exposant est un multiple de 4 alors la puissance de i vaut 1
quand l'exposant est un (multiple de 4) + 1 alors la puissance de i vaut i
quand l'exposant est un (multiple de 4) + 2 alors la puissance de i vaut -1
quand l'exposant est un (multiple de 4) + 3 alors la puissance de i vaut -i
i¹⁶ : 16 est un multiple de 4
i¹⁶ = 1
i²⁰¹⁷ 2017 = 4 x 504 + 1 c'est un (multiple de 4) + 1
i²⁰¹⁷ = i
