bjr
un repère orthonormé est un repère tel que
• l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées sont perpendiculaires (ortho)
• l'unité de mesure est la même sur les deux axes (normé)
voir figure
dans le cas de l'exercice
1)
repère (A ; vect AB ; vecteur AD)
signifie que
• A est l'origine
• (AB) est l'axe des abscisses, orienté de A vers B
l'unité de longueur sur cet axe est AB
• (AD) est l'axe des ordonnées, orienté de A vers D
l'unité de longueur sur cet axe est AD
|
• D
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|
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|_____________•____________
A B
origine
A(0 ; 0) ; B(1 ; 0) ; D(0 ; 1)
ABCD est un carré :
L'angle DAB est droit. Les axes sont perpendiculaires. (ortho)
les côtés ont même longueur AB = AD (= 1)
les axes sont normés
d'où le repère orthonormé
2)
a)
B(1 ; 0)
C (1 ; 1)
D(0 ; 1)
le point K est le milieu de [BC]
K(1 ; 1/2)
le point E est le symétrique de A par rapport à B
E(2 ; 0)
calcul des coordonnées de F
F se trouve sur (AD) 1ère bissectrice des axes
équation réduite : y = x
F se prouve sur la droite (DK) ordonnée à l'origine 1
coefficient directeur : -1/2
équation réduite : y = (-1/2)x + 1
on résout le système
y = x et y = (-1/2)x + 1
x = (-1/2)x + 1
x + (1/2)x = 1
(3/2)x = 1
x = 2/3
F(2/3 ; 2/3)
b)
on démontre que les vecteurs DK et DE sont colinéaires
D(0 ; 1) ; K(2/3 ; 2/3) ; E(2 ; 0)
coordonnées vect DK : (2/3 - 0 ; 2/3 - 1) soit (2/3 ; -1/3)
coordonnées vect DE : (2 - 0 ; 0 - 1) soit (2 , -1)
vect DK vect DE
2/3 2
-1/3 -1
les produits en croix sont : (2/3)*(-1) = -2/3
et
(-1/3) * 2 = -2/3
ils sont égaux, les vecteurs sont colinéaires
les droites DK et DE ont en commun le point D, elles sont confondues
les points D, K et E sont alignés
