Réponse :
bonsoir
Explications étape par étape :
a) f(x) est une fonction quotient dont le diviseur est toujours >0 par conséquent f(x) est définie et continue sur R.
b) Dérivée: f'(x)=-(-2e^-2x)*3/(1+e^2-x)²=(6e^-2x)/(1+e^-2x)²
cette dérivée est toujours >0 donc f(x) est croissante
c) Limites
si x tend vers -oo, 1+e^-2x tend vers +oo donc f(x) tend vers 3/+oo=0+
si x tend vers +oo , e^-2x tend vers 0 donc f(x) tend vers 3/1=3
les droites d'équation y=0 et y=3 sont des asymptotes horizontales.
d) Contenu de la monotonie de f(x) sur R et des valeurs aux bornes 0+ et 3 d'après le TVI, f(x)=2,999 admet une et une seule solution. "alpha"
e) calcul de "alpha" sans encadrement
il faut résoudre l'équation f(x)=2,999
soit 3/(1+e^-2x)=2,999
produit en croix 3= 2,999(1+e^-2x)
1+e^-2x=3/2,999
e^-2x=(3-2,999)/2,999=0,001/2,999
on passe par le ln
-2x=ln0,001-ln2,999
x=(ln0,001-ln2,999)/(-2)=4,00301 (environ)
vérification:3/(1+e^-8)=2,99899
