Réponse :
f' est dérivable sur [0;2] (composition de fonctions dérivables sur [0;2]).
[tex]f''(x) = ((1-x)e^{-x})'\\f''(x)=(1-x)'e^{-x}+(1-x)(e^{-x})'\\f''(x)=-e^{-x}-(1-x)e^{-x}\\f''(x)=(-1-(1-x))e^{-x}\\f''(x)=(-2+x)e^{-x}[/tex]
Or, [tex]e^x>0[/tex]. De plus :
[tex]0\leq x\leq 2\\-2\leq -2+x\leq 0[/tex]
Donc [tex]-2+x\leq 0[/tex], ce qui implique que [tex](-2+x)e^{-x}\leq 0[/tex]
La dérivée seconde de f est négative sur [0;2], donc f est concave sur [0;2].
