Réponse :
Il me semblait bien qu'il manquait des données.
Explications étape par étape :
U1=1/2
U(n+1)=[(n+1)/2n]*Un
U2=[(1+1)/2]*1/2=1/2
U3=[(2+1)/4]*1/2=(3/4)*(1/2)=3/8
U4=[(3+1)/6]*(3/8)=1/4
2)la suite Un n'est ni arithmétique (car U2-U1 différent de U3-U2)
ni géométrique car (U2/U1 différent de U3/U2)
3-a) Dn=Un/n
D(n+1)=U(n+1)/(n+1)={[(n+1)/2n]*Un}/(n+1)=[(n+1)*Un]/2n(n+1)=Un/2n
donc D(n+1)/Dn=[Un/2n]*(n/Un)=1/2
le rapport D(n+1)/Dn=1/2 soit une constante donc Dn est une suite géométrique de raison q=1/2
3-b) D1=U1/1=1/2 D1=1/2
3-c) Dn=(1/2)(1/2)^(n-1)=(1/2)^n donc Dn=(1/2)^n
3-d) comme Dn=Un/n Un=n*Dn=n*(1/2)^n
Un=n*(1/2)^n
vérification U1=1*(1/2)^1=1/2
U2=2*(1/2)²=2/4=1/2
U3=3*(1/2)³=3/8
U4=4*(1/2)^4=4/16=1/4
On retrouve les valeurs de la question1
