Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
Je crois que tu as posé 6 fois ton DM, ce qui est abusif de mon point de vue .
1)
Une valeur qui diminue de 25% est multipliée par (1-25/100)=0.75
U(1)=3000 x 0.75 +400=2650
U(2)=U(1) x 0.75 +400 =......
2)
Donc :
U(n+1)=U(n) x 0.75 +400
3)
En 2026 , c'est U(6). Un tableur donne U(6)=1849
4)
Il semble que :
lim (U(n)) =1600
Au bout d'un certain nb d'années la population sera limitée à 1600 individus.
5)
a)
U(n)=1400 x 0.75^n +1600
En 2030 : n=10.
U(10)=1400 x 0.75^10 + 1600 ≈ 1679 individus.
b)
U(n)=1400 x 0.75^n +1600 donne :
U(n+1)=1400 x 0.75^(n+1) +1600=1400 x 0.75 x 0.75^n +1600
U(n+1)-U(n)=1400 x 0.75 x 0.75^n +1600 - (1400 x 0.75^n +1600)
U(n+1)-U(n)=1400 x 0.75 x 0.75^n +1600 - 1400 x 0.75^n -1600
U(n+1)-U(n)=1400 x 0.75 x 0.75^n - 1400 x 0.75^n
On met 1400 x 0.75^n en facteur :
U(n+1)-U(n)=1400 x 0.75^n (0.75 -1)
U(n+1)-U(n)=-0.25 x 1400 x 0.75^n
U(n+1)-U(n)=-350 x 0.75^n
c)
Le facteur 0.75^n est positif donc -350 x 0.75^n est négatif.
Donc :
U(n+1)-U(n) < 0
Donc :
U(n+1) < U(n)
qui prouve que la suite (U(n)) est décroissante.
Le nb d'individus ne cesse de diminuer mais d'après la diminution sera stoppée quand le nombre de 1600 sera atteint.
6)
Je ne connais pas Python et je n'ai pas vu de correcteurs l'utiliser ici.
Avec le tableur on trouve :
U(6)=1849 et U(7)=1787
Donc à partir de 2027 , l'espèce est menacée.
