Réponse :
soit f(t) = 15e⁻⁰⁸t + 5 définie sur [0 ; + ∞[
1) démontrer que lim f(t) = 5
t → + ∞
lim f(t) = lim (15e^-0.8t + 5)
t → + ∞ t → + ∞
on pose T = - 0.8 t
donc lim e^T = 0 et par produit lim 15e^T = 0
T → - ∞ T → - ∞
et par somme lim (15 (C) e^T + 5) = 5
T→ - ∞
donc lim f(t) = 5
t → + ∞
2) en déduire que la courbe (C) admet une asymptote dont -on donnera une équation
puisque la lim f(t) = 5 (constante) donc la courbe (C) admet une
t → + ∞
une asymptote horizontale d'équation f(t) = 5
3) on admet que, pour tout réel x ∈ [0 ; + ∞[
On a : f '(t) = - 12e^-0.8t; dresser le tableau de variation de f sur
[0 ; + ∞[
f est une fonction somme dérivable sur [0 ; + ∞[ et sa dérivée f '
est f '(t) = - 12e^-0.8t; or e^-0.8t > 0 et - 12 < 0 donc - 12e^-0.8t < 0
⇒ f '(t) < 0 donc f (t) est décroissante sur [0 ; + ∞[
t 0 + ∞
f '(t) -
variation 20 →→→→→→→→→→ 5
de f(t) décroissante
4) le système de freinage permet-il au chariot de s'arrêter
on écrit f(t) = 0 ⇔ 15e^-0.8t + 5 = 0 ⇔ 15e^-0.8t = - 5 pas de solutions car 15e^-0.8t > 0 donc le système de freinage ne permet pas au chariot de s'arrêter
5) soit F(t) = - 18.75e^-0.8t + 5 t définie sur [0 ; + ∞[
a) vérifier que la fonction F est une primitive de la fonction f sur [0 ; + ∞[
F est une primitive de f ⇔ F' (t) = f(t)
F '(t) = - 18.75 * (- 0.8)e^-0.8t + 5 = 15e^-0.8t + 5 = f(t)
b) on admet que la distance d, exprimée en m parcourue par le chariot entre les instants t0 et t1 est donnée par :
t1 t1
d = ∫ f(t)dt = |F(t)| = F(t0) - F(t1)
t0 t0
d = F(t1) - F(t0) = - 18.75e⁻⁰⁸ + 5*1 - (- 18.75e⁰ + 5*0
= - 8.4249 + 5 + 18.75
d ≈ 15.33 m
Explications étape par étape :
