AMBRE200535
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Bonsoir à tous, je n'arrive pas à faire cet exercice donc si vous voulez bien m'aidez s'il vous plaît. Merci d'avance ^^
f est une fonction définie sur ℝ par f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d où a, b, c et d désignent des réels.
C est sa courbe représentative dans un repère et possède les propriétés suivantes :
• C coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 20 ;
• C passe par le point A(−1 ; 18)et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 3 ;
• C admet une tangente horizontale au point d’abscisse 0.
1) Déterminer la dérivée de f sur ℝ.
2) Déterminer les valeurs des réels c et d.
3) Déterminer deux équations que vérifient les réels a et b, puis résoudre le système formé par ces deux équations.

Sagot :

Réponse :

f(x) = a x³ + b x² + c x + d    où a; b; c et d sont des réels

* C  coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 20

       f(0) = 20 = d

* C passe par le point  A(- 1 ; 18)  et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 3

 f(- 1) = 18 = - a + b - c + 20 = 18  ⇔ - a + b - c = - 2

f '(x) = 3a x² + 2b x + c

f '(- 1) = 3 = 3 a - 2 b + c

f '(0) = 0 = c

1) f '(x) = 3a x² + 2b x + c

2)  c = 0  et  d = 20

3) { - a + b = - 2   ⇔  a = b + 2   ⇔ a = - 3 + 2 = - 1

   { 3 a - 2 b = 3  ⇔  3(b + 2) - 2 b = 3  ⇔ 3 b + 6 - 2 b = 3  ⇔ b = - 3

f(x) = - x³ - 3 x² + 20

 

Explications étape par étape :