Réponse :
f(x) = √(x) - 3 définie sur [0 ; + ∞[
1) montrer que le taux de variation de f entre 9 et 9 + h est égal à :
t(h) = 1/√(9 + h) + 3 pour tout réel h non nul et supérieur ou égal à (- 9)
t(h) = [f(9+h) - f(9)]/h
= (√(9+h) - 3) - (√9 - 3))/h
= (√(9+h) - 3) - 3 + 3))/h
= (√(9+h) - 3))/h
= (√(9+h) - 3) (√(9+h) + 3)/h (√(9+h) + 3)
= (9 + h - 9)/h (√(9+h) + 3)
= h/h (√(9+h) + 3)
t(h) = 1/(√(9+h) + 3)
2) en déduire que f est dérivable en 9 et déterminer f '(9)
f est dérivable en 9 si la lim t(h) = L (limite finie)
h→0
lim t(h) = lim (1/√(9+h) + 3) = 1/6
h→0 h→0
donc f '(9) = lim t(h)= 1/6
h→0
3) retrouver ce résultat en utilisant les règles de dérivation
f(x) = √x - 3
f est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et sa dérivée est f '(x) = 1/2√x
f '(9) = 1/2√9 = 1/6
Explications étape par étape :