Réponse :
bonjour
Explications étape par étape :
1) voir pièce jointe
2) pour répondre à cette question on calcule la mesure des segments
AB ; BC et AC
soit A ( -4 ; 5 ) ; B ( -2 ; -1) et C ( 2 ; 3 )
Dans un repère orthonormé, la longueur d’un segment s’exprime en fonction des coordonnées des points
selon la formule : ⇒ √(x₁ - x₀)² + (y₁ - y₀)²(la racine carrée vient couvrir toute la formule)
donc mesure de AB c avec A(-4 ; 5) et B( -2 ; -1)
- AB = √(xB - xA )² + (yB - yA)²
- AB = √(-2 +4)² + √(-1 - 5)²
AB = 2√10
mesure de BC B(-2 ; -1 ) et C( 2 ; 3)
- BC = √(xC - x B)² + (yC - yB)²
- BC = √(2 + 2)² + (3 + 1) )²
BC = 4√2
mesure de AC A( -4 ; 5) et C (2 ; 3))
- AC = √(xC - xA)² + (yC - yA)²
- AC = √(2 + 4)² + (3 - 5)²
AC = 2√10
donc AB = AC le triangle est un triangle isocèle en A
3) k (xk ; yk) milieu de BC B(-2 ;-1) C (2 ; 3)
- coordonnées du milieu k ( ( xB + xC)/2 ; (yB + yC)/2)
- ⇒ k( ( -2 + 2)/2 ; (-1 + 3)/2)
⇒ k(0 ; 1)
4) nature de ABK
on calcule la mesure des segments AB ; AK et BK
mesure de BK avec B (-2 ;-1) et k ( 0 ; 1)
Bk = √(xk - xB)² + (yk -yB)²
Bk = √(0 + 2)² + (1 + 1)²
Bk =√2² + 2²
mesure de Ak avec A(-4 ; 5) et k (0 ; 1 )
Ak = √(xk -xA)² + (yk -yA)²
Ak = √(0 + 4)² + (1 - 5)²
Ak = √4² + 4²
Et (√40)² = (√8)² + (√32)²
⇒ 40 = 8 + 32
40 = 40
AB² = Ak² + Bk² ⇒ ABk triangle rectangle en k et AB hypoténuse de ce triangle
5 ) D symétrique de A par rapport à k donc k milieu de AD
⇒k (( xA + xD)/2 ; (yA + yD)/2)) et k (0 ; 1)
⇒soit xk = (xA + xD)/2 et yk = (yA + yD) /2
- 0 = (-4 + xD) /2 et 1 = 5 + yD/2
- 0 x 2 = -4 +xD et 1 x 2 = 5 + yD
- 0 + 4 = xD et 2 - 5 = yD
- xD = + 4 et yD = -3
coordonnées de D (4 ; -3)
6) nature ABDC
AB = AC = 2√10 ⇒ AB et AC côtés concécutifs de même longueur de ABDC
BC et AD diagonales de ABDC qui se coupent perpendiculairement (k = 90°) et en leur milieu
ABDC est un losange
7) ABk triangle rectangle en k donc AB hypoténuse de ce triangle
et le centre du cercle circonscrit à ABk est le milieu de AB
donc R = 1/2AB
R = 2√10/2
coordonnées du milieu de AB appelons le F:
⇒F (( xA + xB)/2 ; (yA + yB) /2)
⇒F (( -4 - 2)/2 ; (5 -1)/2)
si E (-5 ;0) ∈ au cercle circonscrit à ABk alors la distance EF est un rayon de ce cercle et = √10
vérifions avec E (-5 ;0) et F( -3 ; -2)
- EF = √(xF - xE)² + (yF - yE)²
- EF = √(-3 + 5)² + ( 2 - 0)²
EF = √8
donc EF ≠ R
E(-5 ;0) ∉ au cercle circonscrit à ABk
bonne journée
