Réponse :
Explications étape par étape :
Bonsoir, exercice relativement classique, ce genre d'exo retombe régulièrement.
Par définition, l'équation de la tangente T, en un point A d'abscisse a vaut :
y = g'(a)(x-a) + g(a).
En introduisant l'abscisse du point A indiqué dans l'énoncé (2), on obtient finalement :
y = g'(2)(x-2) + g(2).
Ici, il faut préalablement commencer par dériver la fonction g, nécessaire pour calculer g'(a). En premier lieu, g est dérivable pour tout réel x (car trinôme du 2nd degré), ainsi :
g'(x) = -4x + 4.
Il en résulte : g'(2) = -8 + 4 = -4.
Par la suite, déterminer l'image de 2 par la fonction g, soit g(2) :
g(2) = -8 + 8 + 4 = 4.
Toutes les conditions requises sont finalisées, pour obtenir l'équation de tangente T recherchée :
y = g'(2)(x-2) + g(2) = -4(x-2) + 4 = -4x + 12.
Pour déterminer la position relative de Cg par rapport à T, il suffit de résoudre une inéquation. Savoir lorsque la courbe Cg est au dessus, en dessous, ou coupe T.
On étudie donc les expressions de Cg, et T, soit g(x) = -2x² + 4x + 4 et y = -4x + 12.
---> Si Cg est au dessus de T, alors -2x² + 4x + 4 > -4x + 12.
---> Si Cg est en dessous de T, alors -2x² + 4x + 4 < -4x + 12.
---> Si Cg coupe T, alors -2x² + 4x + 4 = -4x + 12.
On peut résoudre ces inéquations par différence, en introduisant une fonction h(x), telle que :
h(x) = -2x² + 4x + 4 - (-4x+12) = -2x² + 8x - 8.
Tout ceci équivaudra à étudier le signe de h(x).
On visualise directement en factorisant :
-2x² + 8x - 8 = -2*(x² - 4x + 4) = -2*(x-2)².
Sachant que (x-2)² est strictement positif pour tout réel x (sauf pour x = 2, car x-2 = 0), le signe de h(x) sera donc du signe de -2, négatif.
Cg sera donc strictement en dessous de T pour tout réel x, sauf pour x = 2 (donc au point A), où Cg coupera la tangente T.
Bonne soirée
