Explications étape par étape :
1. f(x) =( x³– 3x ) / ( x²+ x + 1 )
Le dénominateur x²+ x + 1 doit être différent de 0
Δ = 1² - 4 ( 1 * 1 ) = -3
Δ < 0, pas de solution.
Df = R
2. f(x) =( x³– 3x ) / ( x²+ x + 1 ) et g(x) = x - 1
Pour étudier la position relative de la courbe C et de la droite D, il faut calculer: f(x) - g(x)
f(x) - g(x) = ( x³ - 3x ) / ( x² + x + 1 ) - ( x - 1 )
⇔ f(x) - g(x) = [ ( x³ - 3x ) / ( x² + x + 1 )] - [( x - 1 ) ( x² + x + 1 ) ] / x² + x + 1
⇔ f(x) - g(x) = [ x³ - 3x - ( x³ + x² + x - x² - x - 1 ) ] / x² + x + 1
⇔ f(x) - g(x) = ( x³ - 3x - x³ - x² - x + x² + x + 1 ) / x² + x + 1
⇔ f(x) - g(x) = ( -3x + 1 ) / x² + x + 1
Tableau de variations
x -∞ 1/3 +∞
-3x + 1 + 0 -
x² + x + 1 + +
( -3x + 1 )/ ( x²+x+1) + 0 -
f(x) - g(x) ≥ 0 sur ] -∞ ; 1/3 ]
f(x) - g(x) ≤ 0 sur [ 1/3 ; +∞ [
C au-dessus de D sur ] -∞ ; 1/3 ]
C en dessous de D sur [ 1/3 ; +∞ [
