Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
f(x)=1/(x-1)
Il faut x-1 ≠ 0 donc x ≠ 1.
Df=IR-{1}
g(x)=-2x²+4x+1
Pas de valeurs interdites .
Dg=IR
h(x)=√(x-2) / √(x+7)
Il faut :
x-2 ≥ 0 soit x ≥ 2
Et :
x+7 > 0 soit x > -7
Donc :
Dh=]-7;+∞[
2)
f(x)=|x+2|
Si x+2 ≥ 0 soit x ≥ -2 , alors f(x)=x+2
Si x ≤ -2, alors f(x)=-(x+2) soit f(x)=-x-2
Pour tracer f(x)=x+2 avec x ≥ -2 , il te faut 2 points :
(0;2) et (4;6) par exemple.
Pour tracer f(x)=-x-2 avec x ≤ -2 , il te faut 2 points :
(-5;3) et (-2;0) par exemple.
Voir graph joint.
3)
f(x)=2x²+|x|
f(-x)=2(-x)²+|-x|
Mais (-x)²=x² et |-x|=|x|
Donc f(-x)=f(x) : cette fonction est paire.
-------------------
g(x)=2x+3/x
g(-x)=2(-x)+3/(-x)
g(-x)=-2x-3/x
g(-x)=-(2x+3/x)
g(-x)=-g(x) : Cette fonction est impaire.
4)
f(x)=x²+4x+5
a)
f(a)=a²+4a+5
f(b)=b²+4b+5
b)
Je ne connais pas ce T(a,b) .
Je vais faire ce que l'on fait habituellement.
Soient -2 ≤ a < b :
f(a) - f(b)=a²+4a+5-b²-4b-5
f(a) - f(b)=a²-b²+4(a-b)
Mais : a²-b²=(a+b)(a-b) donc :
f(a) - f(b)=(a+b)(a-b)+4(a-b) ==>On met (a-b) en facteur
f(a) - f(b)=(a-b)(a+b+4)
Comme a < b , le facteur (a-b) est négatif.
a ≥ -2
b > -2
Par additions :
a+b > -2-2
a+b > -4
(a+b+4) > 0
Le 2ème facteur de f(a)-f(b) est positif
Donc le produit des deux facteurs est négatif.
Donc sur [-2;+∞[ : f(a)-f(b) < 0 soit f(a) < f(b).
On est parti de a < b pour arriver à f(a) < f(b) , ce qui prouve que :
sur [-2;+∞[ , la fct f(x) est croissante.
c)
Soient a < b ≤ -2 :
On arrive toujours à :
f(a) - f(b)=(a-b)(a+b+4)
On a toujours le facteur (a-b) négatif.
Mais on a :
a < -2
b ≤ -2
Par additions :
a+b < -4
a+b+4 < 0
Le 2ème facteur de f(a)-f(b) est négatif.
Donc le produit des deux facteurs est positif.
Donc sur ]-∞-2] , f(a)-f(b) > 0 soit f(a) > f(b).
On est parti de a < b pour arriver à f(a) > f(b) , ce qui prouve que :
sur]-∞;-2] , la fct f(x) est décroissante.
d)
Variation :
x------->-∞................-2..................+∞
f(x)----->.........D.........1........C...........
D=flèche qui descend et D=flèche qui monte.
e)
Le tableau de variation montre que f(x) passe par un minimum pour x=-2 qui vaut 1.
En effet : f(-2)=(-2)²+4(-2)+5=4-8+5=1
