Explications étape par étape:
Bonsoir, afin de s'imprégner de l'exercice, au préalable je vais répondre à la question 2a.
2a- Par l'absurde, comme tu l'as sûrement, soit, un entier pair tel que x = 2k, k € Z. Alors x^2 = 4k^2 = 4n + 1.
Comme 4n + 1 est impair pour n € N, absurde, car le membre de gauche est multiple de 4.
2b- Plus subtil, on commence par poser x € Z comme nombre impair, alors il existe k € Z, tel que x = 2k+1.
On intègre ceci dans E, l'équation originelle :
(2k+1)^2 = 4n + 1, d'où 4k^2 + 4k + 1 = 4n + 1.
On simplifié : 4k^2 + 4k = 4n.
On divise par 4 : n = k^2 + k = k*(k+1).
L'erreur ici, est d'affirmer que n est obligatoirement pair, c'est le cas, mais pas pour tous les entiers pairs. (voir question 1).
k + 1 est l'entier consécutif de k. n doit donc être le produit de 2 nombres consécutifs, telle est sa propriété !
3- Admettons la conclusion précédente, alors x^2 = 4n + 1 = 4*k*(k+1) + 1, avec k € N.
On déduit que : x^2 = 4k^2 + 4k + 1 = (2k + 1)^2 en développant.
Il y a donc 2 solutions possibles, x = 2k+1, et x = -2k - 1.
4- En vertu des propriétés précédentes, si n = k(k+1), alors x = 2k + 1 ou - 2k - 1, avec k € Z.
Voici la conclusion :
1re étape : Tu choisis 2 entiers naturels k et k+1, tu les multiplies ensemble pour former ton entier n.
2e étape : Tu obtiendras un nombre, il te suffit d'ajouter les 2 nombres qui ont permis de former cet entier n.
Imaginons, tu poses n = 20*21 = 420.
Alors x = 20 + 21 = 41, et x = - 41. Tu peux le vérifier par toi même.
Bonne soirée à toi.
PS : Merci pour cet exercice, je ne l'avais encore jamais vu, assez astucieux. Je le retiendrais !