Réponse :
5a) g(x) = f(ax) - f(x) = f(a) + f(x) - f(x) car f est dans E
donc g(x) = f(a) = cste
5b) g '(x) = f'(ax) - f'(x) = a f'(ax) - f'(x) dérivée de fct composée
et 2ème façon de dérivé : g'(x) = 0 car g = cste !
5c) tu égales les 2 façons de dérivé :
6) puisque f'(1) = k on pose x = 1 dans l'égalité obtenu avant
tu obtiens : a f'(a) - f'(1) = 0 --> a f'(a) - k = 0 --> f'(a) = k/a
7) on suppose que f est dans (S) donc f vérifie f(1) = 0 et f'(x) = k/x
on introduit la fct g définie en 5)
on a g(1) = f(a) - f(1) et comme f(1) = 0 ... on a : g(1) = f(a)
d'autres part on dérive g
on a g'(x) = a f'(ax) - f'(x) et puisque f est dans (S) on a f'(x) = k/x
donc : g'(x) = a k/(ax) - k/x = k/x - k/x = 0
puisque g' = 0 alors g est cste et puisque g(1) = f(a) cette constante c'est f(a)
on alors : g(x) = f(a) qq soit x donc g(x) = f(ax) - f(x) = f(a)
donc f(ax) = f(a) + f(x) donc f est dans (E)
Explications étape par étape
