Réponse :
Explications étape par étape
Bonsoir, ici il te faudra utiliser les congruences.
En effet, soit n un nombre, alors en faisant le division euclidienne de ce nombre par p, on obtient : n = b*p + r, avec r le reste.
Cela équivaut à n congru à r modulo b.
1) Ici, 2^3 = 8 congru à 1 modulo 7. Or, 2021 = 2019 + 2 = (3x673) + 2.
Donc 2^2021 = 2^(2019+2) = (2^2019)x2^2 = 4x(2^(3x673)) = 4x(2^(3)^(673)), congru à 4 modulo 7.
Ainsi, 25 x 2^2021 congru à 25x4 = 100 = 98+2, donc congru à 2 modulo 7.
2) Avec calculatrice, en tâtonnant, tu y parviendras, mais méthode longue. Il suffit d'être astucieux, et décomposer progressivement 2021, sans calculatrice :
2021 = 1300 + 821 = 13x100 + 721
721 = 650 + 71 = 13x50 + 71
71 = 65 + 6 = 13x5 + 6
Conclusion : 721 = 13x50 + 13x5 + 6 = 55x13 + 6.
Ainsi : 2021 = 13x100 + 13x55 + 6 = 155x13 + 6.
Donc 2021 congru à 6 modulo 13.
Puis ça se complique, il faudrait trouver un entier n, tel que 6^n soit congru à -1, ou 1 modulo 13, pour faciliter les calculs.
On procède en tâtonnant :
6² = 36 = 2x13 + 10, donc congru à 10 modulo 13.
6^3 = 6² x 6, et 60 = 13x4 + 8, donc congru à 8 modulo 13.
6^4 = 6^3 x 6, congru à 8x6 = 48 = 3x13 + 9, congru à 9 modulo 13.
6^5 = 6^4 x 6, congru à 9x6 = 54 = 4x13 + 2, congru à 2 modulo 13.
6^6 = 6^5 x 6, congru à 2x6 = 12, congru à -1 modulo 13.
Or, 2021 = 1800 + 221 = 6x300 + 221
221 = 180 + 41 = 6x30 + 41
41 = 36 + 5 = 6x6 + 5
Ainsi : 221 = 6x30 + 6x6 + 5 = 36x6 + 5, puis 2021 = 6x300 + 36x6 + 5 = 336x6 + 5.
336 est un entier pair, donc (-1)^336 est positif et vaut 1.
Conclusion : 2021^2021 = 2021^(336x6 + 5)
= 2021^(336x6) + 2021^5 = 2021^(6)^(336) + 2021^5
congru à 1 modulo 13, et 2021^5 congru à 2 modulo 13.
Au final, 2021^2021 congru à 3 modulo 13.
