Bonsoir
ABC est un triangle rectangle isocèle en A.
Soit E, F, G et J les points définis par :
(Vecteur)BE=1/8AB(vecteur);
(Vecteur)CF=3/4CB(vecteur);
(Vecteur)CG=1/4CA(vecteur);
(Vecteur)AJ=1/4CA(vecteur).
On se place dans le repère (A; AB, AC)
1. Faire une figure.
Voir pièce jointe
2. a) Donner sans justification les coordonnées des points A, B et C dans le repère (A; AB, AC)
A (0;0)
B (1;0)
C (0;1)
J’ai mis 8 traits de manière à correspondre avec les égalités de vecteur (1/8).
b) Calculer les coordonnées des points E, F et G.
BE = 1/8 AB
xE - xB = 1/8(xB - xA)
xE = 1/8(xB - xA) + xB
xE = 1/8(1 - 0) + 1
xE = 1/8 + 8/8
xE = 9/8
yE - yB = 1/8(xB - xA)
yE = 1/8(yB - yA) + yB
yE = 1/8(0 - 0) + 0
yE = 0
E(9/8 ; 0)
CF = 3/4 CB
xF - xC = 3/4(xB - xC)
xF = 3/4(xB - xC) + xC
xF = 3/4(1 - 0) + 0
xF = 3/4
yF - yC = 3/4(yB - yC)
yF = 3/4(yB - yC) + yC
yF = 3/4(0 - 1) + 1
yF = -3/4 + 1
yF = -3/4 + 4/4
yF = 1/4
F(3/4;1/4)
CG = 1/4 ÇA
xG - xC = 1/4(xA - xC)
xG = 1/4(xA - xC) + xC
xG = 1/4(0 - 0) + 0
xG = 0
yG - yC = 1/4(yA - yC)
yG = 1/4(yA - yC) + yC
yG = 1/4(0 - 1) + 1
yG = -1/4 + 1
yG = -1/4 + 4/4
yG = 3/4
G(0;3/4)
c) Les points E, F et G sont-ils alignés ?
Si les coefficients directeur des droites EF, EG et FG sont égaux soit :
Si (yF - yE)/(xF - xE) = (yG - yE)/(xG - xE) = (yG - yF)/(xG - xF)
(1/4 - 0)/(3/4 - 9/8) = 1/4 / (6/8 - 9/8) = 1/4 / (-3/8) = 1/4 x -8/3 = -2/3
(3/4 - 0)/(0 - 9/8) = 3/4 / (-9/8) = 3/4 x -8/9 = -2/3
(3/4 - 1/4)/(0 - 3/4) = 2/4 / (-3/4) = 2/4 x -4/3 = -2/3
Donc les points E, F et G sont alignés
3. Soit K le point du segment [AB] tel que J, K et F sont alignés. Calculer les coordonnées de K.
AJ = 1/4 ÇA
(xJ - xA) = 1/4(xA - xC)
xJ = 1/4(xA - xC) + xA
xJ = 1/4(0 - 0) + 0
xJ = 0
yJ - yA = 1/4(yA - yC)
yJ = 1/4(yA - yC) + yA
yJ = 1/4(0 - 1) + 0
yJ = -1/4
J(0;-1/4)
JF a pour equation :
y = ax + b
-1/4 = 0 + b
b = -1/4
1/4 = 3a/4 + b
1/4 = 3a/4 - 1/4
1/4 + 1/4 = 3a/4
2/4 = 3a/4
a = 2/4 * 4/3
a = 2/3
y = 2x/3 - 1/4
on sait que K est sur la droite AB donc yK = 0
0 = 2x/3 - 1/4
1/4 = 2x/3
x = 1/4 * 3/2
x = 3/8
K(3/8;0)
