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Sagot :

BOJAR

Réponse :

Salut,

Explications étape par étape

1) l'aire d'un rectangle (A) de longueur L et de largeur l est A=L×l

l'aire du rectangle MNPQ c'est aussi QM.MN  ici QM=PN=L et MN=QP=l

pour tout x ∈ [0;3], nous avons M(x;0) et Q(-x;0)

ainsi L=QM=QO+OM = -OQ+OM = -(-x) + x = 2x

pour  tout x ∈ [0;3], N d'abscisse x et P d'abscisse -x  appartiennent à la courbe C et sont donc les solutions de la fonction f(x)

ainsi l=MN= f(x)

aussi pour tout x ∈ [0;3] l'aire du rectangle MNPQ est A(x) avec

A(x)=L×l = 2x × f(x)= 2x × [(9/4)-([tex]x^{2}[/tex]/4)] = (18x/4) - (2x³/4) = (9x/2) - (x³/2)

A(x)= (9x-x³)/2

2) étude des variations de la fonction A sur x ∈ [0;3]

la dérivée de A(x) est A'(x) = (9-3[tex]x^{2}[/tex])/2

A'(x)=o pour x=[tex]\sqrt{3}[/tex] puisque x ∈ [0;3]

et A'(x) > 0 quand x ∈ [0;[tex]\sqrt{3}[/tex][ et A'(x)<0 quand x ∈ ][tex]\sqrt{3}[/tex]; 3]

Tableau des variations

x         0         1         [tex]\sqrt{3}[/tex]          2         3

_____________________________

A'(x)        ( +)      (+)     0      (-)        (-)

A(x)                          3[tex]\sqrt{3}[/tex]

A(x)                4                       5            

A(x)      0                                            0

Ainsi l'aire (A) de MNPQ est maximale quand x= [tex]\sqrt{3}[/tex], soit

A([tex]\sqrt{3}[/tex])= [9[tex]\sqrt{3}[/tex]-([tex]\sqrt{3}[/tex])³]/2 =[ (9[tex]\sqrt{3}[/tex])-([tex]\sqrt{3}[/tex].3)]/2= (6[tex]\sqrt{3}[/tex])/2=3[tex]\sqrt{3}[/tex]

l'aire maximale est 3[tex]\sqrt{3}[/tex]

Bonne continuation. Merci de t'abonner à mon compte.

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