Réponse :
Salut,
Explications étape par étape
1) l'aire d'un rectangle (A) de longueur L et de largeur l est A=L×l
l'aire du rectangle MNPQ c'est aussi QM.MN ici QM=PN=L et MN=QP=l
pour tout x ∈ [0;3], nous avons M(x;0) et Q(-x;0)
ainsi L=QM=QO+OM = -OQ+OM = -(-x) + x = 2x
pour tout x ∈ [0;3], N d'abscisse x et P d'abscisse -x appartiennent à la courbe C et sont donc les solutions de la fonction f(x)
ainsi l=MN= f(x)
aussi pour tout x ∈ [0;3] l'aire du rectangle MNPQ est A(x) avec
A(x)=L×l = 2x × f(x)= 2x × [(9/4)-([tex]x^{2}[/tex]/4)] = (18x/4) - (2x³/4) = (9x/2) - (x³/2)
A(x)= (9x-x³)/2
2) étude des variations de la fonction A sur x ∈ [0;3]
la dérivée de A(x) est A'(x) = (9-3[tex]x^{2}[/tex])/2
A'(x)=o pour x=[tex]\sqrt{3}[/tex] puisque x ∈ [0;3]
et A'(x) > 0 quand x ∈ [0;[tex]\sqrt{3}[/tex][ et A'(x)<0 quand x ∈ ][tex]\sqrt{3}[/tex]; 3]
Tableau des variations
x 0 1 [tex]\sqrt{3}[/tex] 2 3
_____________________________
A'(x) ( +) (+) 0 (-) (-)
A(x) 3[tex]\sqrt{3}[/tex]
A(x) 4 5
A(x) 0 0
Ainsi l'aire (A) de MNPQ est maximale quand x= [tex]\sqrt{3}[/tex], soit
A([tex]\sqrt{3}[/tex])= [9[tex]\sqrt{3}[/tex]-([tex]\sqrt{3}[/tex])³]/2 =[ (9[tex]\sqrt{3}[/tex])-([tex]\sqrt{3}[/tex].3)]/2= (6[tex]\sqrt{3}[/tex])/2=3[tex]\sqrt{3}[/tex]
l'aire maximale est 3[tex]\sqrt{3}[/tex]
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