Bonjour,
1)
il suffit de faire les calculs
[tex]M_1=2^1-1=1\\\\M_2=2^2-1=3\text{ premier}\\\\M_3=2^3-1=7\text{ premier}\\\\M_4=2^4-1=15\\\\M_5=2^5-1=31\text{ premier}\\\\M_6=2^6-1=63\\\\M_7=2^7-1=127\text{ premier}\\\\M_8=2^8-1=255\\\\M_9=2^9-1=511\\\\M_{10}=2^{10}-1=1023\\\\[/tex]
[tex]M_{11}=2^{11}-1=2047\\\\M_{12}=2^{12}-1=4095\\\\M_{13}=2^{13}-1=8191\text{ premier}\\\\M_{14}=2^{14}-1=16383\\\\M_{15}=2^{15}-1=32767[/tex]
2)
Si x = 1 l'égalité donne 0=0 donc c'est vrai
si x est différent de 1 on peut calculer la somme des premiers termes d'une suite géometrique
[tex]1+x+x^2+...+x^{k-1}=\dfrac{x^k-1}{x-1}[/tex]
d'où l'égalité
3)
a.
On applique la formule du 2) avec
[tex]x=2^d\\\\2^n-1=((2^d)^k-1)=(2^d-1)(1+x+x^2+...+(x^d)^{k-1})[/tex]
si d divise n alors [tex]M_d[/tex] divise [tex]M_n[/tex]
b.
Pour que [tex]M_n[/tex] soit premier il est nécesaire que n soit premier.
4. Non, car [tex]M_{11}[/tex] n'est pas premier alors que 11 est premier
Merci
