Bonjour,
Avec les ...
[tex]\begin{aligned}(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x^2+x+1) &= x^n + x^{n-1}+\cdots + x^2+x\\ &\ \ \ \ \ \ \ \; - x^{n-1}-\cdots - x^2-x-1\\&=x^n-1\end{aligned}[/tex]
ou de manière plus formelle
[tex]\displaystyle (x-1)\sum_{k=0}^{n-1} \ x^k =\sum_{k=0}^{n-1} \ x^{k+1}-\sum_{k=0}^{n-1} \ x^k\\\\=\sum_{k=1}^{n} \ x^k-\sum_{k=0}^{n-1} \ x^k\\\\=x^n+\sum_{k=1}^{n-1} \ x^k-\sum_{k=1}^{n-1} \ x^k-1\\\\=x^n-1[/tex]
Sinon pour x différent de 1 nous avons la somme des termes d'une suite géométrique
[tex]\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \ x^k=\dfrac{x^n-1}{x-1}\\\\[/tex]
D'où la formule pour x différent de 1 et elle se vérifie pour x = 1 (car cela fait 0 = 0) aussi donc elle est vraie pour tout x
Merci